{"id":99366,"date":"2018-03-21T18:29:47","date_gmt":"2018-03-21T21:29:47","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=99366"},"modified":"2020-05-18T22:00:41","modified_gmt":"2020-05-19T01:00:41","slug":"sala-de-ajuda-os-angulos-internos-de-um-pentagono-regular","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-ajuda-os-angulos-internos-de-um-pentagono-regular\/","title":{"rendered":".Sala de ajuda: Os \u00e2ngulos internos de um pent\u00e1gono regular"},"content":{"rendered":"\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><a id=\"O1\">&nbsp;<\/a><\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"cb34 g1\">\n<p class=\"ti2 c3\">Os \u00e2ngulos internos de um pent\u00e1gono regular<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p>Nesta sala, vamos calcular a medida em graus dos \u00e2ngulos internos de um pent\u00e1gono regular. Mas quais s\u00e3o as informa\u00e7\u00f5es b\u00e1sicas sobre os pent\u00e1gonos regulares?<\/p>\n<ul>\n<li>Um pent\u00e1gono regular \u00e9 <strong>equil\u00e1tero<\/strong>, ou seja, os lados de um pent\u00e1gono regular t\u00eam o mesmo comprimento.<\/li>\n<li>Um pent\u00e1gono regular \u00e9 <strong>equi\u00e2ngulo<\/strong>, ou seja, os \u00e2ngulos internos de um pent\u00e1gono regular t\u00eam a mesma medida.<\/li>\n<li>Um pent\u00e1gono regular \u00e9 <strong>inscrit\u00edvel a uma circunfer\u00eancia <\/strong>, ou seja, existe uma \u00fanica circunfer\u00eancia que passa pelos seus cinco v\u00e9rtices.<\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"g1 cb31\" style=\"width:600px;font-size:12px;line-height:20px; margin-left:auto; margin-right:auto\">\nPara obtermos a medida dos \u00e2ngulos internos de um pent\u00e1gono regular vamos utilizar um dos resultados sobre tri\u00e2ngulos mais conhecidos da Geometria Plana:<br \/>\n<P STYLE=\"TEXT-ALIGN:CENTER\"><strong>A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo qualquer \u00e9 [tex]180^\\circ.[\/tex]<\/strong> <\/P><\/div>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#800000; margin-top: 20px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#800000;margin-top: 8px; margin-bottom: 20px; border: 0 none\"\/>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/f001.png\" alt=\"\" width=\"200\" height=\"199\" class=\"alignright size-full wp-image-99417\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/f001.png 280w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/f001-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 200px) 100vw, 200px\" \/>Considere um pent\u00e1gono regular [tex]ABCDE[\/tex].<br \/>\n<strong>(1)<\/strong> Trace as diagonais [tex]\\overline{EB} \\, [\/tex] e  [tex] \\, \\overline{EC}.[\/tex]<br \/>\nObserve que, com isso, decompusemos o pent\u00e1gono em tr\u00eas tri\u00e2ngulos:<\/p>\n<ul>\n<ul>\n<li>tri\u00e2ngulo [tex]ABE [\/tex] <\/li>\n<li>tri\u00e2ngulo [tex]BCE [\/tex] <\/li>\n<li>tri\u00e2ngulo [tex]CDE [\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<p>Dessa forma, a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos do pent\u00e1gono \u00e9 exatamente a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos desses tr\u00eas tri\u00e2ngulos, ou seja, [tex]\\boxed{3\\times 180^\\circ=540^\\circ} \\, .[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"g1 cb35\" style=\"width:80%;font-size:12px;line-height:20px; margin-left:auto; margin-right:auto\">\n<p style=\"margin:10px 40px 10px 40px;font-size:12px\">\nVoc\u00ea pode visualizar a decomposi\u00e7\u00e3o do passo <strong>(1)<\/strong> utilizando o <em>applet <\/em> abaixo. Para isso \u00e9 s\u00f3 esperar o aplicativo carregar completamente e clicar sucessivamente nos quadradinhos que ir\u00e3o aparecer.<br \/>\nPara retornar \u00e0 configura\u00e7\u00e3o inicial, clique nas setinhas que aparecem no canto superior do aplicativo. <\/p>\n<p style=\"text-align:center; line-height:20px;\">\n<iframe loading=\"lazy\"  title=\"\u00c2ngulos internos de um pent\u00e1gono regular (1)\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/vwzPEAqj\/width\/625\/height\/300\/border\/800000\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/true\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"625px\" height=\"300px\" style=\"border:0px;\"> <\/iframe><br \/>\n<span style=\"font-size:14px\">OBMEP_srg, criado com o <a href=\"http:\/\/www.geogebra.org\/\" target=\"_blank\" >GeoGebra<\/a><\/span><\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p><strong>(2)<\/strong> Como o pent\u00e1gono \u00e9 regular, os seus cinco \u00e2ngulos internos t\u00eam a mesma medida, logo, ficou f\u00e1cil determinar a medida em graus de cada \u00e2ngulo interno; basta dividir [tex]540^\\circ[\/tex] por [tex]5[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\dfrac{540^\\circ}{5}=108^\\circ.[\/tex]<br \/>\nAssim, a medida em graus de cada \u00e2ngulo interno de um pent\u00e1gono regular \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$108^\\circ$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#800000; margin-top: 20px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:3px;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Vamos apresentar uma segunda justificativa para o valor da medida dos \u00e2ngulos internos de um pent\u00e1gono regular.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/f003.png\" alt=\"\" width=\"200\" height=\"207\" class=\"alignright size-full wp-image-99438\" \/>Para tanto, a partir do centro do pent\u00e1gono regular [tex]ABCDE[\/tex], trace os segmentos  [tex]\\overline{OA} \\, [\/tex],[tex] \\, \\overline{OB} \\, [\/tex],[tex] \\, \\overline{OC} \\, [\/tex],[tex] \\, \\overline{OD} \\, [\/tex],[tex] \\, \\overline{OE}.[\/tex] <span style=\"font-size:11px;\"> (Na verdade, esses segmentos s\u00e3o raios da circunfer\u00eancia circunscrita ao pent\u00e1gono.)<\/span><br \/>\nObserve que agora decompusemos o pent\u00e1gono em cinco tri\u00e2ngulos is\u00f3sceles congruentes:<\/p>\n<ul>\n<li>tri\u00e2ngulo [tex]AOB[\/tex] <\/li>\n<li>tri\u00e2ngulo [tex]BOC[\/tex] <\/li>\n<li>tri\u00e2ngulo [tex]COD[\/tex]  <\/li>\n<li>tri\u00e2ngulo [tex]DOE[\/tex]   <\/li>\n<li>tri\u00e2ngulo [tex]EOA.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Como esses cinco tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes, os cinco \u00e2ngulos com v\u00e9rtices em [tex]O[\/tex] t\u00eam a mesma medida:[tex]\\dfrac{360^\\circ}{5}=72^\\circ.[\/tex]<br \/>\nMais do que isso: como os cinco tri\u00e2gulos s\u00e3o is\u00f3sceles, os dois outros \u00e2ngulos de cada tri\u00e2ngulo t\u00eam a mesma medida, digamos [tex]\\alpha.[\/tex]<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/SP-content\/uploads\/2018\/03\/f007.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"691\" height=\"272\" class=\"aligncenter size-full wp-image-99443\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/f007.png 691w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/f007-300x118.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 691px) 100vw, 691px\" \/><br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/f008-1.png\" alt=\"\" width=\"200\" height=\"191\" class=\"alignright size-full wp-image-99446\" \/><br \/>\nDessa forma, a medida [tex]\\alpha[\/tex] dos \u00e2ngulos da base de cada tri\u00e2ngulo da decomposi\u00e7\u00e3o do pent\u00e1gono pode ser assim calculada, se utilizarmos uma vez mais que a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo qualquer \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad \\alpha= \\dfrac{180^\\circ-72^\\circ}{2}=54^\\circ.[\/tex]<br \/>\nFinalmente, como a medida de cada \u00e2ngulo interno do pent\u00e1gono [tex]ABCDE[\/tex] \u00e9 o dobro da medida dos \u00e2ngulos da base dos tri\u00e2ngulos que decomp\u00f5em o pent\u00e1gono, essa medida \u00e9 dada por  [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2 \\times 54^\\circ=108^\\circ$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"g1 cb35\" style=\"width:80%;font-size:12px;line-height:20px; margin-left:auto; margin-right:auto\">\n<p style=\"margin:10px 40px 10px 40px;font-size:12px\">\nVoc\u00ea pode visualizar a decomposi\u00e7\u00e3o descrita nesta segunda justificativa, utilizando o pr\u00f3ximo <em>applet <\/em>. Para isso \u00e9 s\u00f3 esperar o aplicativo carregar completamente e clicar sucessivamente nos quadradinhos que ir\u00e3o aparecer.<br \/>\nPara retornar \u00e0 configura\u00e7\u00e3o inicial, clique nas setinhas que aparecem no canto superior do aplicativo. <\/p>\n<p style=\"text-align:center; line-height:20px;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"\u00c2ngulos internos de um pent\u00e1gono regular (2)\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/At7YyWzy\/width\/659\/height\/350\/border\/800000\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/true\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"659px\" height=\"350px\" style=\"border:0px;\"> <\/iframe><br \/>\n<span style=\"font-size:14px\">OBMEP_srg, criado com o <a href=\"http:\/\/www.geogebra.org\/\" target=\"_blank\" >GeoGebra<\/a><\/span><\/p>\n<\/div>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#800000; margin-top: 50px; margin-bottom: 6px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#800000; margin-top: 6px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: right;\"><span style=\"color: #800000; font-size: 20px;\"><strong>Equipe COM &#8211; OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&nbsp; Os \u00e2ngulos internos de um pent\u00e1gono regular Nesta sala, vamos calcular a medida em graus dos \u00e2ngulos internos de um pent\u00e1gono regular. 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Um pent\u00e1gono regular \u00e9 equi\u00e2ngulo, &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-ajuda-os-angulos-internos-de-um-pentagono-regular\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-99366","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/99366","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=99366"}],"version-history":[{"count":81,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/99366\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":154359,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/99366\/revisions\/154359"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=99366"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}