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Problema Sejam \n [tex]\\qquad \\qquad P=\\left[\\begin{array}{ccc} 3 &0&-1\\\\0&5&0\\\\3&0&4\\end{array}\\right][\/tex] \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Em vez de calcularmos a matriz [tex]A[\/tex], a matriz [tex]A^2[\/tex], a matriz [tex]A^2+A[\/tex] e depois o determinante desta \u00faltima, iremos aplicar duas propriedades de matrizes quadradas quaisquer para simplificar as contas. Tal procedimento \u00e9 \u00fatil em situa\u00e7\u00f5es com matrizes como as do enunciado.<\/p>\n Vamos l\u00e1! Temos que: e como [tex]D^2+D[\/tex] \u00e9 uma matriz diagonal, tem-se que: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Sejam [tex]\\qquad \\qquad D=\\left[\\begin{array}{ccc} 2 &0&0\\\\0&-3&0\\\\0&0&4\\end{array}\\right]\\qquad [\/tex] [tex]\\qquad \\qquad P=\\left[\\begin{array}{ccc} 3 &0&-1\\\\0&5&0\\\\3&0&4\\end{array}\\right][\/tex] e considere [tex]\\qquad \\qquad A=P^{-1}DP.[\/tex] Determine [tex]det(A^2+A)[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o Em vez de calcularmos a matriz [tex]A[\/tex], a matriz [tex]A^2[\/tex], a matriz [tex]A^2+A[\/tex] e depois o determinante desta \u00faltima, iremos aplicar duas propriedades de matrizes … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
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\n[tex]\\qquad \\qquad D=\\left[\\begin{array}{ccc} 2 &0&0\\\\0&-3&0\\\\0&0&4\\end{array}\\right]\\qquad [\/tex] <\/p>\n
\ne considere
\n[tex]\\qquad \\qquad A=P^{-1}DP.[\/tex]
\nDetermine [tex]det(A^2+A)[\/tex].<\/p>\n
\n\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{det(M\\cdot N)=det (M)\\cdot det(N)} \\, .[\/tex]<\/li>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{det(M^{-1})=\\dfrac{1}{det(M)}}.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n
\n[tex]\\qquad A^2=A\\cdot A=\\left(P^{-1}DP\\right)\\cdot\\left( P^{-1}DP\\right)=P^{-1}D(PP^{-1})DP=P^{-1}D^2P[\/tex]
\nlogo:
\n[tex]\\qquad A^2+A=P^{-1}D^2P+P^{-1}DP=P^{-1}(D^2+D)P[\/tex].
\nAssim, utilizando as duas propriedades citadas, segue que:
\n[tex]\\qquad \\begin{align*} det(A^2+A)&=det(P^{-1}(D^2+D)P)\\\\
\n&=det(P^{-1})\\cdot det(D^2+D)\\cdot det(P)\\\\
\n&=\\dfrac{1}{\\cancel{det(P)}}\\cdot det(D^2+D)\\cdot \\cancel{det(P)}\\\\
\n&=det(D^2+D) \\, . \\end{align*}[\/tex]
\nAgora, observe que:
\n[tex]\\qquad D^2+D=\\left[\\begin{array}{ccc} 4 &0&0\\\\0&9&0\\\\0&0&16\\end{array}\\right]+\\left[\\begin{array}{ccc} 2 &0&0\\\\0&-3&0\\\\0&0&4\\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{ccc} 6 &0&0\\\\0&6&0\\\\0&0&20\\end{array}\\right][\/tex],<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$det(A^2+A)$}=det(D^2+D)=6\\times 6\\times 20=\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$720$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
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