{"id":98857,"date":"2018-03-01T15:37:00","date_gmt":"2018-03-01T18:37:00","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=98857"},"modified":"2023-12-08T19:07:08","modified_gmt":"2023-12-08T22:07:08","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-o-relogio-do-pedrinho","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-o-relogio-do-pedrinho\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola:  O rel\u00f3gio do Pedrinho"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=207709\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#778899;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#FF8C00\"> (A partir do 7\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n(<strong>ONEM &#8211; 2009<\/strong>) O rel\u00f3gio digital de Pedrinho marca horas de 00:00 at\u00e9 23:59, mas est\u00e1 com um problema: mostra o d\u00edgito <strong>2<\/strong> em vez de mostrar o d\u00edgito <strong>8<\/strong>.<br \/>\nAssim, por exemplo:<\/p>\n<ul>\n<li>em vez de mostrar <strong>18:48<\/strong> o rel\u00f3gio mostra <strong>12:42<\/strong>;<\/li>\n<li>em vez de mostrar <strong>22:28<\/strong> o rel\u00f3gio mostra <strong>22:22<\/strong>;<\/li>\n<li>em vez de mostrar <strong>08:18<\/strong> o rel\u00f3gio mostra <strong>02:12<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Durante um dia, quantas vezes o rel\u00f3gio de Pedrinho  mostra <strong>incorretamente <\/strong>as horas?<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nPara que um determinado hor\u00e1rio seja incorretamente exibido ele deve ter um d\u00edgito [tex]8[\/tex]. Assim, vamos determinar quantos hor\u00e1rios  de <strong>00:00<\/strong> at\u00e9 <strong>23:59<\/strong> t\u00eam, pelo menos, um d\u00edgito [tex]8.[\/tex]<br \/>\nVamos denotar um hor\u00e1rio como [tex]\\textcolor{red}{ab}:\\textcolor{blue}{cd}[\/tex], sendo que  [tex]\\, \\textcolor{red}{ab}\\, [\/tex] s\u00e3o os d\u00edgitos relativos \u00e0s horas e [tex]\\, \\textcolor{blue}{cd}\\, [\/tex] s\u00e3o os d\u00edgitos relativos aos minutos.<\/p>\n<ul>\n<li>Se os d\u00edgitos das horas forem [tex]\\textcolor{red}{08}[\/tex] ou [tex]\\textcolor{red}{18}[\/tex], o hor\u00e1rio ser\u00e1 incorretamente exibido, independentemente dos respectivos d\u00edgitos dos minutos. (E somente essas duas situa\u00e7\u00f5es relativas \u00e0s horas provocam erro.)<br \/>\nMas observe que, para cada uma dessas duas situa\u00e7\u00f5es, temos sessenta possibilidades para os d\u00edgitos dos minutos:<br \/>\n[tex]\\qquad \\textcolor{blue}{00}\\,  , \\, \\textcolor{blue}{01}\\, ,\\, \\textcolor{blue}{02}\\, ,\\, \\cdots\\, , \\, \\textcolor{blue}{58}\\, ,\\, \\textcolor{blue}{59}\\, [\/tex].<br \/>\nAssim, temos [tex]2 \\times 60=\\boxed{120}[\/tex] hor\u00e1rios incorretamente exibidos.<\/li>\n<li>Se os d\u00edgitos das horas n\u00e3o forem nem [tex]\\textcolor{red}{08}[\/tex] e  nem [tex]\\textcolor{red}{18}[\/tex], o hor\u00e1rio s\u00f3 ser\u00e1 incorretamente exibido se aparecer um [tex]8[\/tex]  nos d\u00edgitos [tex]\\, \\textcolor{blue}{cd}\\, [\/tex] dos minutos. Perceba que o d\u00edgito [tex]\\, \\textcolor{blue}{c}\\, [\/tex] n\u00e3o pode ser [tex]8\\, [\/tex], j\u00e1 que [tex]\\, 00 \\leqslant \\textcolor{blue}{cd}\\leqslant 59\\, .[\/tex]<br \/>\nParticularmente, temos [tex]\\, \\textcolor{blue}{d}=8\\, [\/tex] para os seguintes valores de minutos: [tex] 08\\, ,\\, 18\\, ,\\, \\, 28,\\, 38\\, ,\\, 48\\, ,\\, 58\\, [\/tex], ou seja, em seis situa\u00e7\u00f5es.<br \/>\nMas lembre-se de que estamos analisando os casos em que os d\u00edgitos das horas n\u00e3o s\u00e3o [tex]\\textcolor{red}{08}[\/tex] e  nem [tex]\\textcolor{red}{18}[\/tex]; ent\u00e3o, para cada uma dessas seis possibilidades de d\u00edgitos dos minutos, temos [tex]24-2=22[\/tex] possibilidades para os d\u00edgitos da horas:<br \/>\n[tex]\\qquad \\textcolor{red}{00}\\, ,\\,  \\textcolor{red}{01}\\, , \\,  \\textcolor{red}{02}\\, ,\\, \\cdots\\, ,\\,  \\textcolor{red}{07}\\, ,\\,  \\textcolor{red}{09}\\, ,\\,  \\textcolor{red}{10}\\, ,\\,  \\textcolor{red}{11}\\, ,\\, \\cdots\\, ,\\,  \\textcolor{red}{17}\\, ,\\,  \\textcolor{red}{19}\\, ,\\,  \\textcolor{red}{20}\\, ,\\, \\cdots\\, ,\\,  \\textcolor{red}{23}\\, .[\/tex]<br \/>\nPortanto, neste caso, temos [tex]6 \\times 22=\\boxed{132}[\/tex] hor\u00e1rios incorretamente exibidos.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pelo exposto, a quantidade de horas incorretamente mostradas no rel\u00f3gio de Pedrinho \u00e9 [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$120+132=252$}\\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"g3\" style=\"width: 450px;\">\nGincana de 2017 &#8211; Clubes de Matem\u00e1tica da OBMEP<br \/>\nN\u00edvel A &#8211; Quest\u00e3o Dif\u00edcil<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/O-rel\u00f3gio-do-Pedrinho.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ O rel\u00f3gio do Pedrinho.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 7\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil) (ONEM &#8211; 2009) O rel\u00f3gio digital de Pedrinho marca horas de 00:00 at\u00e9 23:59, mas est\u00e1 com um problema: mostra o d\u00edgito 2 em vez de mostrar o d\u00edgito 8. 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