{"id":98847,"date":"2018-03-01T15:16:24","date_gmt":"2018-03-01T18:16:24","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=98847"},"modified":"2023-12-08T19:03:02","modified_gmt":"2023-12-08T22:03:02","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-quantos-triangulos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-quantos-triangulos\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Construindo tri\u00e2ngulos"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=207703\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#778899;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Problema <span style=\"font-size:12px; color:#0000FF\"><br \/>\n(A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>(<strong>OPM 2008 <\/strong>&#8211; adaptado) O desenho abaixo foi feito em um papel quadriculado.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/prob127_5.png\" style=\"border: none; \"alt=\"\" width=\"311\" height=\"260\" class=\"aligncenter size-full wp-image-100121\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/prob127_5.png 311w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/prob127_5-300x251.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 311px) 100vw, 311px\" \/>Quantos tri\u00e2ngulos com v\u00e9rtices nos pontos da figura desenhada \u00e9 poss\u00edvel construir?<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1n\" style=\"margin:30px; line-height:30px; width:85%; margin-left:auto; margin-right:auto; padding:20px; \">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\" alt=\"explicador_p\" width=\"81\" height=\"99\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:20px;margin:10px\"> Ajuda<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>O <strong> <span class=\"c3\"> n\u00famero de combina\u00e7\u00f5es de [tex]n[\/tex] elementos, tomados [tex]p[\/tex] a [tex]p [\/tex],<\/span><\/strong> \u00e9 definido como o &quot;n\u00famero de maneiras poss\u00edveis de escolhermos [tex]p[\/tex] objetos a partir de [tex]n[\/tex] objetos dispon\u00edveis, sem que a ordem utilizada na escolha seja levada em considera\u00e7\u00e3o&quot;.<br \/>\nEsse n\u00famero \u00e9 representado pelos s\u00edmbolos [tex]C_n^p[\/tex] ou [tex]C_{n,p}[\/tex] e \u00e9 dado por: <\/p>\n<p style=\"text-align:center\">[tex] \\boxed{C_n^p=\\dfrac{n!}{\\left(n-p\\right)! \\, p!}}[\/tex] .<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Sabemos que para definir um tri\u00e2ngulo precisamos de tr\u00eas pontos n\u00e3o colineares; mas vamos inicialmente calcular o n\u00famero de escolhas poss\u00edveis de tr\u00eas pontos quaisquer dentre os dez pontos apresentados, sem que a ordem de escolha seja levada em considera\u00e7\u00e3o:<br \/>\n[tex]\\qquad C_{10}^3=\\dfrac{10!}{\\left(10-3\\right)! \\, 3!}=\\dfrac{\\cancel{10!}}{\\cancel{7!} \\, 3!}=\\dfrac{10\\times 9\\times 8}{3\\times 2}=\\boxed{120}[\/tex] .<br \/>\nMas nestas [tex]120[\/tex] escolhas est\u00e3o inclu\u00eddas aquelas nas quais os tr\u00eas pontos s\u00e3o colineares, que sabemos n\u00e3o definirem um tri\u00e2ngulo. Vamos ent\u00e3o descontar desse total a quantidade de escolhas com tr\u00eas pontos colineares. Para isso, veja que temos tr\u00eas tipos de  escolha de pontos colineares:<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/prob127_1.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"155\" height=\"108\" class=\"alignright size-full wp-image-98574\" \/><\/p>\n<ul>\n<li><strong>Os pontos que est\u00e3o sobre o segmento vermelho indicado na figura ao lado<\/strong><br \/>\nNeste caso temos<br \/>\n[tex]\\qquad C_5^3=\\dfrac{5!}{\\left(5-3\\right)! \\, 3!}=\\dfrac{\\cancel{5!}}{2!\\cancel{3!}}=\\dfrac{5\\times 4}{2}=\\boxed{10}[\/tex] escolhas.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/prob127_2.png\"  style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"126\" height=\"97\" class=\"alignright size-full wp-image-98577\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<ul>\n<li><strong>Os pontos que est\u00e3o sobre o segmento azul indicado na segunda figura ao lado<\/strong><br \/>\nNeste caso temos<br \/>\n[tex]\\qquad C_4^3=\\dfrac{4!}{\\left(4-3\\right)! \\, 3!}=\\dfrac{\\cancel{4!}}{1!\\cancel{3!}}=\\boxed{4}[\/tex] escolhas.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/prob127_3.png\" style=\"border: none;\"  alt=\"\" width=\"121\" height=\"92\" class=\"alignright size-full wp-image-98581\" \/><\/p>\n<ul>\n<li><strong>As escolhas coloridas indicadas na terceira figura ao lado<\/strong><br \/>\nNeste caso temos [tex]\\boxed{3}[\/tex] escolhas.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p>Assim, contamos a mais [tex]\\boxed{10+4+3=17}[\/tex] escolhas, quando calculamos as [tex]120[\/tex] iniciais e, portanto,<br \/>\no n\u00famero de tri\u00e2ngulos que se pode construir com v\u00e9rtices nos pontos da figura \u00e9 igual a [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$120 \u2212 17 = 103$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/Construindo-tri\u00e2ngulos.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Construindo tri\u00e2ngulos.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) (OPM 2008 &#8211; adaptado) O desenho abaixo foi feito em um papel quadriculado. Quantos tri\u00e2ngulos com v\u00e9rtices nos pontos da figura desenhada \u00e9 poss\u00edvel construir? Ajuda O n\u00famero de combina\u00e7\u00f5es de [tex]n[\/tex] elementos, &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-quantos-triangulos\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-98847","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/98847","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=98847"}],"version-history":[{"count":20,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/98847\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":207705,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/98847\/revisions\/207705"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=98847"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}