Problema Uma f\u00e1brica produz v\u00e1rios modelos para bandeirinhas que podem ser utilizadas em festas de anivers\u00e1rio. \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Para resolver este problema, vamos precisar da rela\u00e7\u00e3o entre a \u00e1rea de um quadrado e a \u00e1rea do quadrado definido pelos pontos m\u00e9dios do primeiro quadrado.\t<\/p>\n [tex]\\qquad\\qquad x^2=\\left(\\dfrac{l}{2}\\right)^2+\\left(\\dfrac{l}{2}\\right)^2[\/tex]<\/p>\n \n [tex]\\qquad\\qquad x^2=\\dfrac{l^2}{4}+\\dfrac{l^2}{4}=\\dfrac{l^2}{2}.[\/tex] Esses oito tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes e cada um tem \u00e1rea [tex]\\dfrac{\\frac{l}{2}\\times \\frac{l}{2}}{2}=\\dfrac{l^2}{8} \\, [\/tex]; assim, [tex]\\boxed{A_1=\\dfrac{l^2}{8}} \\, [\/tex] e [tex]\\boxed{A_2=\\dfrac{l^2}{8}} [\/tex] . Desta forma segue que: \n [tex]\\qquad \\boxed{\\text{\u00c1rea do quadrado menor}}= 4A_2=4\\dfrac{l^2}{8}=\\boxed{\\dfrac{l^2}{2}} \\, .[\/tex] \n Podemos agora resolver o problema; para isso, sejam \u00c1rea 1<\/strong><\/span>, \u00c1rea 2<\/strong><\/span> e \u00c1rea 3<\/strong><\/span> as \u00e1reas dos tr\u00eas quadrados, conforme indica a figura abaixo.<\/p>\n Note que, se [tex]A[\/tex] \u00e9 a \u00e1rea do quadrado maior, ent\u00e3o: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n
\n
\nBianca escolheu, para a sua festa de dez anos, bandeirinhas confeccionadas em quadrados de papel nos quais s\u00e3o desenhados dois quadrados coloridos de verde e de azul e cujos v\u00e9rtices s\u00e3o pontos m\u00e9dios dos lados dos quadrados nos quais est\u00e3o inscritos, conforme mostra a figura.
\nEm cada bandeirinha, qual a fra\u00e7\u00e3o que est\u00e1 colorida de azul?<\/strong>
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/10\/prob128.png\")
<\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/prob128_1.png\")
<\/p>\n\n
\nLigando os pontos m\u00e9dios de dois lados adjacentes desse quadrado, obtemos um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo cujos catetos medem ambos [tex]\\dfrac{l}{2}[\/tex] e cuja hipotenusa \u00e9 o lado do quadrado menor, de medida, digamos, [tex]x[\/tex].
\nEnt\u00e3o, pelo Teorema de Pit\u00e1goras:<\/li>\n
\nSendo [tex]x \\, [\/tex] e [tex] \\, l[\/tex] medidas de lados de quadrados, [tex]x\\gt 0 \\, [\/tex] e [tex] \\, l\\gt 0[\/tex]; logo,
\n[tex]\\qquad x=\\sqrt{\\dfrac{l^2}{2}}=\\dfrac{l}{\\sqrt{2}}.[\/tex]
\nAgora, observe que a \u00e1rea do quadrado interno \u00e9 [tex] x^2=\\boxed{\\dfrac{l^2}{2}} \\, [\/tex] e a \u00e1rea do quadrado inicial \u00e9 [tex]\\boxed{l^2} \\, [\/tex]; assim, a \u00e1rea do quadrado interno \u00e9 metade da \u00e1rea do quadrado inicial.<\/strong><\/ul>\n\n
\nTrace o segmento horizontal e o segmento vertical determinados pelos pontos m\u00e9dios do quadrado maior (v\u00e9rtices do quadrado menor) e observe que ficam definidos oito tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos cujos catetos medem ambos [tex]\\dfrac{l}{2}[\/tex] e cuja hipotenusa mede [tex]x[\/tex]. <\/li>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/prob128_2.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\boxed{\\text{\u00c1rea do quadrado maior}}= 4A_1+4A_2=8\\dfrac{l^2}{8}=\\boxed{l^2} [\/tex] ;<\/p>\n
\nA primeira \u00e1rea j\u00e1 conhec\u00edamos, pois sabemos que [tex]l[\/tex] \u00e9 o comprimento dos lados do quadrado maior; mas a segunda \u00e1rea \u00e9 a que permite concluir que a \u00e1rea do quadrado interno \u00e9 metade da \u00e1rea do quadrado inicial.<\/strong><\/ul>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/prob128_3.png\")
<\/p>\n
\n\u00c1rea 1<\/span>[tex]=A\\\\[\/tex]
\n\u00c1rea 2<\/span>[tex]=\\dfrac{A}{2}\\\\[\/tex]
\n\u00c1rea 3<\/span>[tex]=\\dfrac{\\frac{A}{2}}{2}=\\dfrac{A}{4}.[\/tex]
\nComo em cada bandeirinha a \u00e1rea colorida de azul \u00e9 \u00c1rea 3<\/span> e a \u00e1rea da bandeirinha \u00e9 \u00c1rea 1<\/span>, temos que um quarto de cada bandeirinha est\u00e1 colorida de azul.<\/p>\n
\n\n
\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/td>\n\n
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