{"id":96460,"date":"2018-02-11T15:58:41","date_gmt":"2018-02-11T17:58:41","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=96460"},"modified":"2020-09-04T23:33:08","modified_gmt":"2020-09-05T02:33:08","slug":"angulo-central-e-angulo-inscrito-problemas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/angulo-central-e-angulo-inscrito-problemas\/","title":{"rendered":"\u00c2ngulo Central e \u00c2ngulo Inscrito – Problemas"},"content":{"rendered":"
\n

Problemas<\/p>\n

\n

Problema 1: <\/strong>Na figura, o arco [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{BC}[\/tex] mede [tex]120^\\circ.[\/tex]
\nCalcule o valor de [tex]x.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n Sendo [tex]x[\/tex] a medida do \u00e2ngulo inscrito [tex]B\\hat{A}C[\/tex] temos que [tex]x[\/tex] \u00e9 a metade da medida do arco [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{BC}[\/tex]. Assim:
\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{120^\\circ}{2}=\\fcolorbox{black}{#f6ebe1}{$60^\\circ $} \\, .[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 2: <\/strong>Na figura, o \u00e2ngulo[tex]A\\hat{B}C[\/tex] mede [tex]76^\\circ.[\/tex]
\nCalcule a medida angular do arco [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{\\mathrm{ADC}}.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n\"\"<\/p>\n

\nSabemos que a medida de um \u00e2ngulo inscrito \u00e9 a metade da medida do seu correspondente \u00e2ngulo central e, consequentemente, a metade da medida angular do arco por eles definido.
\nAssim, se [tex]\\beta[\/tex] \u00e9 a medida angular do arco [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{\\mathrm{ADC}}[\/tex], ent\u00e3o: <\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\beta=2\\times 76^\\circ=\\fcolorbox{black}{#f6ebe1}{$152^\\circ $} \\, .[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 3: <\/strong> Na figura, [tex]A, \\, B[\/tex] e [tex]C[\/tex] s\u00e3o pontos da circunfer\u00eancia [tex]\\lambda[\/tex] de centro em [tex]O[\/tex] e [tex]a[\/tex] e [tex]c[\/tex] s\u00e3o as medidas dos \u00e2ngulos com v\u00e9rtices em [tex]A[\/tex] e [tex]C[\/tex], respectivamente.
\nDetermine, em graus, a soma [tex]a+c.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n [tex]57^\\circ[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 4: <\/strong> Na figura, [tex]A, \\, B, \\, C[\/tex] e [tex]D[\/tex] s\u00e3o pontos da circunfer\u00eancia [tex]\\lambda[\/tex] de centro em [tex]O[\/tex].
\nDetermine a medida [tex]x \\, [\/tex], em graus, indicada na figura.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n [tex]72^\\circ[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 5: <\/strong> Na figura, [tex]A, \\, B[\/tex] e [tex]C[\/tex] s\u00e3o pontos da circunfer\u00eancia [tex]\\lambda[\/tex] de centro em [tex]O[\/tex].
\nSe [tex]\\overline{AB}[\/tex] \u00e9 um di\u00e2metro de [tex]\\lambda \\, [\/tex], determine a medida [tex]\\theta \\, [\/tex], em graus, indicada na figura.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n [tex]58^\\circ[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

Problema 6: <\/strong> Qual o arco correspondente a um \u00e2ngulo reto inscrito em uma circunfer\u00eancia?<\/p>\n
\n <\/p>\n
\n A semicircunfer\u00eancia.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 7:<\/strong> Determine a medida em graus [tex]\\beta[\/tex] indicada na figura abaixo.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n [tex]65^\\circ[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

\n

Problema 8: <\/strong> Na figura, [tex]A, \\, B, \\, C[\/tex] e [tex]D[\/tex] s\u00e3o pontos da circunfer\u00eancia de centro em [tex]O \\, [\/tex], sendo [tex]\\overline{AB}[\/tex] um di\u00e2metro.
\nConhecidas as medidas angulares dos arcos [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{AC \\, }[\/tex] e [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{BD \\, }[\/tex], conforme indicado na figura, determine, em graus, a soma [tex]\\alpha+\\beta+\\theta.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n [tex]118^\\circ[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Desafio 1: <\/strong> Um \u00e2ngulo exc\u00eantrico interior <\/strong><\/em> de uma circunfer\u00eancia \u00e9 todo \u00e2ngulo definido por duas cordas que se cruzam em um ponto interior da circunfer\u00eancia, diferente do centro.
\nDeterminar a medida [tex]\\theta[\/tex] em graus do \u00e2ngulo exc\u00eantrico interior [tex]A\\hat{I}B[\/tex] determinado pelas cordas [tex]\\overline{AC}[\/tex] e [tex]\\overline{BD}[\/tex] de uma circunfer\u00eancia de centro [tex]O \\, [\/tex], a partir das medidas angulares [tex]\\alpha[\/tex] e [tex]\\beta[\/tex] dos arcos [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{AB \\, }[\/tex] e [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{CD \\, } \\, [\/tex], respectivamente, conforme indicado na figura abaixo.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Dicas:<\/strong>
\n(1)<\/strong> Lembre-se de que [tex]\\alpha[\/tex] e [tex]\\beta[\/tex] s\u00e3o as medidas em graus dos \u00e2ngulos centrais [tex]A\\hat{O}B[\/tex] e [tex]C\\hat{O}D[\/tex] da circunfer\u00eancia de centro em [tex]O[\/tex] que enxergam respectivamente os arcos [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{AB \\, }[\/tex] e [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{CD \\, } \\, .[\/tex]
\n(2)<\/strong> O Teorema do \u00e2ngulo externo pode ajudar.<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n [tex]\\theta=\\dfrac{\\alpha+\\beta}{2}[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Desafio 2: <\/strong> Um \u00e2ngulo exc\u00eantrico exterior <\/strong><\/em> em uma circunfer\u00eancia \u00e9 todo \u00e2ngulo definido por duas semirretas que partem de um v\u00e9rtice exterior e que s\u00e3o secantes \u00e0 circunfer\u00eancia.
\nSejam [tex]\\overline{AC}[\/tex] e [tex]\\overline{BD}[\/tex] duas cordas de uma circunfer\u00eancia de centro [tex]O[\/tex] cujas retas suportes se intersectam em um ponto [tex]E[\/tex] exterior \u00e0 circunfer\u00eancia.
\nDeterminar a medida [tex]\\theta[\/tex] em graus do \u00e2ngulo exc\u00eantrico exterior [tex]A\\hat{E}B[\/tex], a partir das medidas angulares [tex]\\alpha[\/tex] e [tex]\\beta[\/tex] dos arcos [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{AB \\, }[\/tex] e [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{CD \\, } \\, [\/tex], respectivamente, conforme indicado na figura abaixo.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Dicas:<\/strong>
\n(1)<\/strong> Lembre-se de que [tex]\\alpha[\/tex] e [tex]\\beta[\/tex] s\u00e3o as medidas em graus dos \u00e2ngulos centrais [tex]A\\hat{O}B[\/tex] e [tex]C\\hat{O}D[\/tex] da circunfer\u00eancia de centro em [tex]O[\/tex] que enxergam respectivamente os arcos [tex]\\stackrel{\\frown}{AB \\, }[\/tex] e [tex]\\stackrel{\\frown}{CD \\, } \\, .[\/tex]
\n(2)<\/strong> O Teorema do \u00e2ngulo externo pode ajudar.<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n [tex]\\theta=\\dfrac{\\alpha-\\beta}{2}[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Desafio 3: <\/strong> Um \u00e2ngulo de segmento <\/strong><\/em> em uma circunfer\u00eancia \u00e9 todo \u00e2ngulo cujo v\u00e9rtice \u00e9 um ponto da circunfer\u00eancia, um dos lados \u00e9 uma corda e o outro lado \u00e9 tangente \u00e0 circunfer\u00eancia no v\u00e9rtice do \u00e2ngulo.
\nDetermine a medida [tex]\\alpha[\/tex] do \u00e2ngulo de segmento mostrado na figura abaixo, a partir da medida [tex]\\beta[\/tex] do \u00e2ngulo central indicado.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Dicas:<\/strong>
\n(1)<\/strong> O tri\u00e2ngulo [tex]ABO[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles.
\n(2)<\/strong> Toda tangente a uma circunfer\u00eancia \u00e9 perpendicular ao raio no ponto de tang\u00eancia.<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n [tex]\\alpha =\\dfrac{\\beta}{2}[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 9: <\/strong>Na figura, o arco [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{\\mathrm{EFA}}[\/tex] mede [tex]112^\\circ[\/tex] e o [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{\\mathrm{BCD}}[\/tex] mede [tex]86^\\circ.[\/tex] Calcule o valor de [tex]x.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n <\/p>\n
\nO \u00e2ngulo [tex]B\\hat{H}D[\/tex] \u00e9 exc\u00eantrico interno; utilizando o Desafio 1<\/strong>, temos que:<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad x=\\dfrac{112^\\circ+86^\\circ}{2}=\\dfrac{198^\\circ}{2}=\\fcolorbox{black}{#f6ebe1}{$99^\\circ $} \\, .[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 10: <\/strong>Na figura, o arco [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{\\mathrm{BC}}[\/tex] mede [tex]130^\\circ[\/tex] e o [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{\\mathrm{DE}}[\/tex] mede [tex]32^\\circ.[\/tex] Qual o valor de [tex]\\alpha \\, [\/tex]?<\/p>\n

<\/p>\n

\n <\/p>\n
\nO \u00e2ngulo [tex]B\\hat{A}C[\/tex] \u00e9 exc\u00eantrico externo; utilizando o Desafio 2<\/strong>, segue que:<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\alpha=\\dfrac{130^\\circ-32^\\circ}{2}=\\dfrac{98^\\circ}{2}=\\fcolorbox{black}{#f6ebe1}{$49^\\circ $} \\, .[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 11: <\/strong>Determine a medida [tex]\\theta[\/tex] indicada na figura abaixo.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n\"\"<\/p>\n

Observe que o tri\u00e2ngulo [tex]OAB[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles, j\u00e1 que os segmentos [tex]\\overline{OA}[\/tex] e [tex]\\overline{OB}[\/tex] s\u00e3o raios da circunfer\u00eancia; assim os \u00e2ngulos da base desse tri\u00e2ngulo s\u00e3o congruentes.
\nComo a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ [\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad \\, \\beta+18^\\circ + 18^\\circ=180^\\circ[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\, \\beta+36^\\circ=180^\\circ[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\, \\beta=180^\\circ-36^\\circ[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\, \\beta=144^\\circ \\, .[\/tex]<\/p>\n

Perceba, agora, que o \u00e2ngulo de medida [tex]\\theta[\/tex] mostrado na figura \u00e9 um \u00e2ngulo de segmento, ent\u00e3o, pelo Desafio 3<\/strong>, segue que:
\n[tex]\\qquad \\, \\theta=\\dfrac{\\beta}{2}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\, \\theta=\\dfrac{144^\\circ}{2}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\theta=72^\\circ$} \\, .[\/tex]<\/p>\n

\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

\u00c2ngulos centrais, inscritos, exc\u00eantricos interiores, exc\u00eantricos exteriores e de segmento s\u00e3o genericamente denominados "\u00e2ngulos em uma circunfer\u00eancia<\/strong><\/em>". <\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\n
\n

Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n

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Problemas Problema 1: Na figura, o arco [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{BC}[\/tex] mede [tex]120^\\circ.[\/tex] Calcule o valor de [tex]x.[\/tex] Sendo [tex]x[\/tex] a medida do \u00e2ngulo inscrito [tex]B\\hat{A}C[\/tex] temos que [tex]x[\/tex] \u00e9 a metade da medida do arco [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{BC}[\/tex]. Assim: [tex]\\qquad x=\\dfrac{120^\\circ}{2}=\\fcolorbox{black}{#f6ebe1}{$60^\\circ $} \\, .[\/tex] Problema 2: Na figura, o \u00e2ngulo[tex]A\\hat{B}C[\/tex] mede [tex]76^\\circ.[\/tex] Calcule a medida angular do arco [tex]\\stackrel{\\textstyle\\frown}{\\mathrm{ADC}}.[\/tex] … <\/p>\n

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