{"id":96344,"date":"2018-02-09T14:49:50","date_gmt":"2018-02-09T16:49:50","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=96344"},"modified":"2023-12-08T04:48:01","modified_gmt":"2023-12-08T07:48:01","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-continhas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-continhas\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Continhas"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

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Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

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Sabendo que [tex]\\dfrac{ab}{a^2+b^2}=\\dfrac{\\sqrt{5}}{10}[\/tex] , determine o valor de [tex]\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^4+\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-4}[\/tex].\n<\/p><\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

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Como [tex]\\dfrac{ab}{a^2+b^2}=\\dfrac{\\sqrt{5}}{10}[\/tex], perceba que:<\/p>\n

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[tex]\\qquad \\dfrac{a}{b}+\\dfrac{b}{a}= \\dfrac{a^2+b^2}{ab}=\\dfrac{10}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{10\\sqrt{5}}{5}=2\\sqrt{5}.[\/tex]
\nElevando a igualdade [tex]\\dfrac{a}{b}+\\dfrac{b}{a}=2\\sqrt{5} \\, [\/tex] ao quadrado, segue que:<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\left(\\dfrac{a}{b}+\\dfrac{b}{a}\\right)^2=\\left(2\\sqrt{5}\\right)^2[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^2+2\\cdot \\dfrac{a}{b}\\cdot \\dfrac{b}{a}+\\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^2=4 \\cdot 5[\/tex]<\/p>\n

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[tex]\\qquad \\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^2+2+\\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^2=20[\/tex]<\/p>\n

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[tex]\\qquad \\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^2+\\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^2=20-2[\/tex]<\/p>\n

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[tex]\\qquad \\dfrac{a^2}{b^2}+\\dfrac{b^2}{a^2}=18.[\/tex]
\nElevando a \u00faltima igualdade ao quadrado, agora ficamos com:<\/p>\n

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[tex]\\qquad \\left(\\dfrac{a^2}{b^2}+\\dfrac{b^2}{a^2}\\right)^2=\\left(18\\right)^2[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\left(\\dfrac{a^2}{b^2}\\right)^2+2\\cdot \\dfrac{a^2}{b^2} \\cdot \\dfrac{b^2}{a^2} +\\left(\\dfrac{b^2}{a^2}\\right)^2=324[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\dfrac{a^4}{b^4}+2+\\dfrac{b^4}{a^4}=324[\/tex]<\/p>\n

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[tex]\\qquad \\dfrac{a^4}{b^4}+\\dfrac{b^4}{a^4}=324-2[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\dfrac{a^4}{b^4}+\\dfrac{b^4}{a^4}=322.[\/tex]
\nConsequentemente, [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^4+\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-4}=322$} \\, [\/tex], lembrando que [tex]\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-4}=\\dfrac{b^4}{a^4}.[\/tex]<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

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\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil) Sabendo que [tex]\\dfrac{ab}{a^2+b^2}=\\dfrac{\\sqrt{5}}{10}[\/tex] , determine o valor de [tex]\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^4+\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-4}[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o Como [tex]\\dfrac{ab}{a^2+b^2}=\\dfrac{\\sqrt{5}}{10}[\/tex], perceba que: [tex]\\qquad \\dfrac{a}{b}+\\dfrac{b}{a}= \\dfrac{a^2+b^2}{ab}=\\dfrac{10}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{10\\sqrt{5}}{5}=2\\sqrt{5}.[\/tex] Elevando a igualdade [tex]\\dfrac{a}{b}+\\dfrac{b}{a}=2\\sqrt{5} \\, [\/tex] ao quadrado, segue que: [tex]\\qquad \\left(\\dfrac{a}{b}+\\dfrac{b}{a}\\right)^2=\\left(2\\sqrt{5}\\right)^2[\/tex] [tex]\\qquad \\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^2+2\\cdot \\dfrac{a}{b}\\cdot \\dfrac{b}{a}+\\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^2=4 … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-96344","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/96344","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=96344"}],"version-history":[{"count":11,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/96344\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":207669,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/96344\/revisions\/207669"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=96344"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}