{"id":9568,"date":"2013-09-19T01:05:29","date_gmt":"2013-09-19T04:05:29","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=9568"},"modified":"2023-01-07T00:51:42","modified_gmt":"2023-01-07T03:51:42","slug":"texto_001-contagem-de-divisores","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/texto_001-contagem-de-divisores\/","title":{"rendered":".Texto_001: Contagem de Divisores"},"content":{"rendered":"\n\n
\n

Como calcular a quantidade de divisores pares de um n\u00famero natural n\u00e3o nulo?<\/span><\/p>\n

<\/td>\n

\n\"Probleminha2\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
\n\"\"<\/td>\n\n

Leia o texto abaixo e tente entender.
\nVamos abordar de forma clara e objetiva esse assunto.<\/span><\/p>\n

<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\n

Contagem de divisores naturais de um n\u00famero natural<\/strong><\/p>\n

Sabemos que os divisores positivos de um n\u00famero natural [tex] \\, n[\/tex] s\u00e3o todos os n\u00fameros naturais [tex] \\, p[\/tex], [tex] \\, p>0[\/tex], tais que [tex] \\, n \\, [\/tex] dividido por [tex] \\, p \\, [\/tex] deixa resto zero.
\nEm outras palavras, dizemos que [tex] \\, p \\, [\/tex] \u00e9 um divisor positivo de um n\u00famero natural [tex] \\, n \\, [\/tex] se:
\n(i)<\/strong> [tex] \\, p\\gt 0[\/tex];
\n(ii)<\/strong> o resto da divis\u00e3o de [tex] \\, n \\, [\/tex] por [tex] \\, p \\, [\/tex] for zero.
\nCom isso, se [tex] \\, p \\, [\/tex] for um divisor natural de um n\u00famero natural [tex] \\, n[\/tex], ent\u00e3o existe um n\u00famero natural [tex] \\, m \\, [\/tex] tal que [tex] \\, n=p\\cdot m \\, [\/tex].
\nIndicamos esse fato por [tex] \\, p|n \\, [\/tex] (Lemos [tex] \\, p \\, [\/tex] divide [tex] \\, n[\/tex]).
\nSimbolicamente, [tex] \\, p|n \\, [\/tex], se [tex] \\, n=p\\cdot m[\/tex], com [tex] \\, m \\in \\mathbb{N}[\/tex].<\/p>\n

\nObserva\u00e7\u00f5es Importantes:<\/strong>
\n 
\n1.<\/strong> Quando um n\u00famero natural [tex] \\, n[\/tex], [tex] \\, n>1[\/tex], possui como divisores naturais apenas ele pr\u00f3prio e a unidade, dizemos que [tex] \\, n \\, [\/tex] \u00e9 um n\u00famero primo<\/strong>. Desta forma, s\u00e3o n\u00fameros primos: [tex]2[\/tex], [tex]3[\/tex], [tex]5[\/tex], [tex]7[\/tex], [tex]11[\/tex], [tex]13[\/tex], entre outros.
\nExistem infinitos n\u00fameros primos e isto pode ser demonstrado (Tente provar, caso n\u00e3o consiga, pesquise).
\nO primeiro matem\u00e1tico a demonstrar esse fato foi Euclides<\/strong><\/span> <\/a>(matem\u00e1tico grego cuja biografia voc\u00ea pode encontrar na Biblioteca dos Clubes).
\n 
\n2.<\/strong> Fatorar um n\u00famero natural<\/strong> significa escrev\u00ea-lo como um produto de fatores primos distintos com expoentes naturais.
\n 
\n3.<\/strong> Neste texto consideraremos apenas os divisores naturais de um n\u00famero natural<\/strong>.<\/p>\n

 
\nComo, ent\u00e3o, determinar a quantidade de divisores de um n\u00famero natural n\u00e3o nulo?<\/strong>
\n 
\nVamos ver alguns exemplos simples, antes de generalizarmos a contagem dos divisores de um n\u00famero natural.<\/p>\n

Exemplo 1: Quais os divisores naturais do [tex]1[\/tex]?
\nResposta: Apenas o [tex]1[\/tex].
\n 
\nExemplo 2: Quais s\u00e3o os divisores naturais do [tex]2[\/tex]?
\nResposta: S\u00e3o [tex]1[\/tex] e [tex]2[\/tex].
\n 
\nExemplo 3: Quais s\u00e3o os divisores naturais do [tex]4[\/tex]?
\nResposta: S\u00e3o [tex]1[\/tex], [tex]2[\/tex] e [tex]4[\/tex].
\n 
\nExemplo 4: Quais s\u00e3o os divisores naturais do [tex]12[\/tex]?
\nResposta: S\u00e3o [tex]1[\/tex], [tex]2[\/tex], [tex]3[\/tex], [tex]4[\/tex], [tex]6[\/tex] e [tex]12[\/tex].
\n 
\nExemplo 5: Formas fatoradas:
\n[tex]\\qquad \\quad \\quad \\bullet \\,\\, 12=2^2\\cdot 3[\/tex].
\n[tex]\\qquad \\quad \\quad \\bullet \\,\\, 15=3^1\\cdot 5^1[\/tex].
\n[tex]\\qquad \\quad \\quad \\bullet \\,\\, 15=2^0\\cdot 3^1\\cdot 5^1[\/tex].
\n[tex]\\qquad \\quad \\quad \\bullet \\,\\, 27=3^3[\/tex].
\n[tex]\\qquad \\quad \\quad \\bullet \\,\\, 27=2^0 \\cdot 3^3[\/tex].<\/p>\n

Mas como far\u00edamos para contar a quantidade de divisores naturais de um n\u00famero, se ele n\u00e3o fosse t\u00e3o pequeno como nos exemplos mostrados?
\nPodemos utilizar para isto o Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/em><\/strong>.
\nVejamos, ent\u00e3o, como determinar a quantidade de divisores de, por exemplo [tex]120[\/tex], utilizando o Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/em><\/strong>.
\nInicialmente, fatorando o n\u00famero [tex]120[\/tex], encontramos que [tex] \\, 120=2^3\\cdot 3^1\\cdot5^1[\/tex]. Veja:<\/p>\n

[tex]\\begin{array}{r|l}120 & 2\\\\60 & 2\\\\30 & 2\\\\15 & 3 \\\\5 & 5 \\\\1 & \\boxed{2^3\\cdot3^1\\cdot5^1}\\end{array}[\/tex]<\/p>\n\n\n
\nAfirma\u00e7\u00e3o: <\/strong> Todos os divisores naturais do [tex]120[\/tex] ser\u00e3o da forma [tex]2^x\\cdot 3^y\\cdot5^z[\/tex], onde
\n[tex]\\bullet \\, \\, x=0 \\, [\/tex] ou [tex]1[\/tex] ou [tex]2[\/tex] ou [tex]3[\/tex];
\n[tex]\\bullet \\, \\, y=0 \\, [\/tex] ou [tex]1[\/tex];
\n[tex]\\bullet \\, \\, z=0 \\, [\/tex] ou [tex]1[\/tex].<\/p>\n

Voc\u00ea saberia justificar essa afirma\u00e7\u00e3o?<\/strong><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Deste modo, h\u00e1 [tex]4[\/tex] possibilidades para o valor de [tex] \\, x[\/tex]; [tex]2[\/tex] possibilidades para o valor de [tex] \\, y[\/tex] e [tex]2[\/tex] possibilidades para o valor de [tex] \\, z \\, [\/tex].
\nPelo Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/strong> ou Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong>, o n\u00famero total de possibilidades de escolhermos, simultaneamente, um valor para [tex] \\, x \\, [\/tex]<\/strong>, um valor para [tex] \\, y \\, [\/tex]<\/strong> e um para [tex] \\, z \\, [\/tex]<\/strong> ser\u00e1 dado pelo produto [tex]4\\cdot 2 \\cdot 2=16[\/tex].
\nPortanto, o n\u00famero [tex]120[\/tex] possui [tex]16[\/tex] divisores naturais.
\n 
\nO racioc\u00ednio acima pode ser genericamente resumido da seguinte forma: <\/p>\n

\n
Dado um n\u00famero natural [tex] \\, n[\/tex], [tex] n>1[\/tex], cuja forma fatorada seja [tex] \\, n=2^x\\cdot 3^y\\cdot 5^z \\cdots[\/tex], com [tex] \\, x, y, z, \\cdots \\in \\mathbb{N}[\/tex], a quantidade de divisores de [tex] \\, n \\, [\/tex] ser\u00e1 igual a [tex](x+1)\\cdot (y+1)\\cdot (z+1)\\cdots[\/tex].<\/p>\n

Voc\u00ea saberia justificar essa afirma\u00e7\u00e3o?<\/strong><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

 
\nAgora, querendo descobrir quantos divisores naturais pares<\/strong> o [tex]120[\/tex] possui, basta utilizar o procedimento citado, sem adicionar [tex]1[\/tex] ao expoente do fator [tex]2[\/tex]. (Voc\u00ea saberia o porqu\u00ea dessa afirma\u00e7\u00e3o?<\/strong><\/span>)
\nAssim, o [tex]120[\/tex] possui [tex]3\\cdot (1+1)\\cdot (1+1)=12[\/tex] divisores pares, a saber: [tex] \\, 2, \\, 4, \\, 6, \\, 8, \\, 10, \\, 12, \\, 20, \\, 24, \\, 30, \\, 40, \\, 60, \\, 120[\/tex].
\nEsse racioc\u00ednio pode ser assim resumido: <\/p>\n

\n

\nDado um n\u00famero natural n\u00e3o nulo [tex] \\, n[\/tex], [tex] \\, n>1[\/tex], cuja forma fatorada \u00e9 [tex] \\, n=2^x\\cdot 3^y\\cdot 5^z \\cdots[\/tex], a quantidade de divisores naturais pares de [tex]n[\/tex] ser\u00e1 igual a [tex] \\, x\\cdot (y+1)\\cdot (z+1)\\cdots[\/tex].\n<\/p>\n<\/div>\n

 
\nA quantidade de divisores \u00edmpares de um n\u00famero natural [tex] n[\/tex] \u00e9 obtida subtraindo a quantidade de divisores pares da quantidade total de divisores naturais de [tex] \\, n \\, [\/tex].
\nNo caso particular de [tex]120[\/tex], temos [tex]16-12=4[\/tex] divisores \u00edmpares, a saber [tex]1, \\, 3, \\, 5, \\, 15[\/tex].<\/p>\n

\nDe maneira mais formal, seja [tex] \\, n \\, [\/tex] um n\u00famero natural, [tex] \\, n>1[\/tex].
\nSe
\n[tex]\\qquad n=2^{x_0}\\cdot p_1^{x_1}\\cdot p_2^{x_2}\\cdots \\cdot p_r^{x_r}[\/tex]
\n\u00e9 uma decomposi\u00e7\u00e3o de [tex] \\, n \\, [\/tex] como produto de pot\u00eancias de n\u00fameros primos distintos, ent\u00e3o a quantidade de divisores de [tex] \\, n \\, [\/tex] ser\u00e1 igual a
\n[tex]\\qquad (x_0+1) (x_1+1) (x_2+1) \\cdots (x_r+1)[\/tex].
\nEm particular, a quantidade de divisores pares de [tex] \\, n \\, [\/tex] ser\u00e1
\n[tex]\\qquad x_0\\cdot (x_1+1) (x_2+1) \\cdots (x_r+1)[\/tex].
\n 
\n\u00c9 importante observar que o primo [tex]2[\/tex] n\u00e3o precisa necessariamente ser divisor de [tex] \\, n \\, [\/tex]. (Tente entender essa observa\u00e7\u00e3o e verifique cuidadosamente para esse caso as f\u00f3rmulas apresentadas.<\/strong><\/span>)
\n\u00c9 bom lembrar que o n\u00famero [tex]0[\/tex] admite infinitos divisores.<\/p>\n

\n
\n

Rob\u00e9rio Bacelar<\/strong>
\nEquipe COM – OBMEP<\/span><\/p>\n<\/div>\n

\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Esperamos que voc\u00ea tire proveito da explana\u00e7\u00e3o feita aqui.
\nNosso objetivo \u00e9 tentar sempre facilitar o seu entendimento sobre assuntos importantes da Matem\u00e1tica.<\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

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Como calcular a quantidade de divisores pares de um n\u00famero natural n\u00e3o nulo? Leia o texto abaixo e tente entender. Vamos abordar de forma clara e objetiva esse assunto. Contagem de divisores naturais de um n\u00famero natural Sabemos que os divisores positivos de um n\u00famero natural [tex] \\, n[\/tex] s\u00e3o todos os n\u00fameros naturais [tex] … <\/p>\n

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