{"id":94489,"date":"2018-01-18T14:25:22","date_gmt":"2018-01-18T16:25:22","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=94489"},"modified":"2023-07-27T02:24:19","modified_gmt":"2023-07-27T05:24:19","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-area-de-um-quadrilatero","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-area-de-um-quadrilatero\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Desafio &#8211; \u00c1rea de um quadril\u00e1tero"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=198103\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#8D918D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Na figura abaixo, temos um quadrado [tex]ABCD[\/tex] de lado [tex]2 \\, \\text{cm}[\/tex]; [tex]E[\/tex]  \u00e9 o ponto m\u00e9dio do segmento [tex]AB[\/tex] e [tex]F[\/tex] \u00e9 um ponto entre [tex]E[\/tex] e [tex]D[\/tex].<br \/>\nSe os segmentos [tex]CF[\/tex] e [tex]DE[\/tex] s\u00e3o perpendiculares, determinar a \u00e1rea do quadril\u00e1tero [tex]BCFE[\/tex].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/08\/prob98.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"171\" height=\"182\" class=\"aligncenter size-full wp-image-83075\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/prob98_2.png\"  alt=\"\" width=\"178\" height=\"185\" class=\"alignright size-full wp-image-94283\" c><\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<ul>\n<li>Os dados do problema n\u00e3o nos permitem identificar o tipo do quadril\u00e1tero [tex]BCFE[\/tex]; assim, vamos tra\u00e7ar o segmento [tex]EC[\/tex] e dividi-lo nos tri\u00e2ngulos [tex]EFC[\/tex] e [tex]ECB[\/tex], conforme mostra a figura ao lado.<br \/>\nAproveitando a figura, perceba que, utilizando o Teorema de Pit\u00e1goras, podemos obter facilmente os comprimentos dos segmentos [tex]EC[\/tex] e [tex]ED[\/tex], j\u00e1 que se esse comprimento for [tex]x \\, \\text{cm}[\/tex], ent\u00e3o [tex]x^2=2^2+1^2=5[\/tex] e, com isso, temos que [tex]\\boxed{x=\\sqrt{5} \\, \\text{cm}} \\, . \\quad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"margin:20px\">\n<ul>\n<li>Mas o que precisamos \u00e9 da \u00e1rea do quadril\u00e1tero [tex]BCFE[\/tex] e esta ser\u00e1 a soma das \u00e1reas dos tri\u00e2ngulos [tex]EFC[\/tex] e [tex]ECB[\/tex]. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/prob98_3.png\"  alt=\"\" width=\"182\" height=\"188\" class=\"alignleft size-full wp-image-94291\" \/><br \/>\nAssim, se  [tex]S[\/tex] for a \u00e1rea de [tex]BCFE[\/tex] , ent\u00e3o:<br \/>\n [tex]\\qquad \\boxed{S=S_1+S_2} \\, \\quad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex],<br \/>\nonde  [tex]S_1[\/tex] e [tex]S_2[\/tex] s\u00e3o as \u00e1reas dos tri\u00e2ngulos [tex]EFC[\/tex] e [tex]ECB \\, [\/tex], respectivamente.<br \/>\nPerceba que  [tex]ECB[\/tex] \u00e9 um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo de catetos medindo [tex]1[\/tex] e [tex]2[\/tex] cent\u00edmetros, logo a \u00e1rea [tex]S_2[\/tex] \u00e9 dada por<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{S_2= \\dfrac{1\\times 2}{2}=1 \\, \\text{cm}^2} \\, \\quad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex].<br \/>\nAgora, resta apenas calcular [tex]S_1.[\/tex] <\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/prob98_4.png\" alt=\"\" width=\"177\" height=\"186\" class=\"alignright size-full wp-image-94326\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<ul>\n<li>Para o c\u00e1lculo de [tex]S_1 \\, [\/tex] precisamos obter os comprimentos dos segmentos [tex]EF[\/tex] e [tex]CF[\/tex] e para isso vamos explorar o tri\u00e2ngulo [tex]EDC.[\/tex]<br \/>\nDa figura ao lado, observamos que a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]EDC[\/tex] \u00e9 [tex]\\dfrac{2\\times 2}{2}=2 \\, \\text{cm}^2[\/tex] e que essa \u00e1rea pode tamb\u00e9m ser calculada utilizando-se como base o segmento [tex]ED[\/tex] e como altura o segmento  [tex]CF.[\/tex] Dessa forma, segue que:<br \/>\n [tex]\\qquad 2= \\dfrac{base \\times altura}{2}= \\dfrac{x \\times h}{2}= \\dfrac{\\sqrt{5} \\times h}{2}[\/tex]<br \/>\ndonde conclu\u00edmos que  [tex]\\boxed{h= \\dfrac{4}{\\sqrt{5}} \\, \\text{cm}}.  \\, \\quad \\textcolor{#800000}{(iv)} [\/tex]<br \/>\nPara obtermos o comprimento do segmento [tex]EF[\/tex], basta observar que o tri\u00e2ngulo [tex]EFC[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo, logo:<br \/>\n[tex]\\qquad z^2+h^2=\\left(\\sqrt{5} \\right)^2[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad z^2+\\left(\\dfrac{4}{\\sqrt{5}} \\right)^2 \\stackrel{\\textcolor{#800000}{(iv)}}{=} 5[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad z^2+\\dfrac{16}{5}= 5[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad z^2= 5-\\dfrac{16}{5}=\\dfrac{9}{5}[\/tex]<br \/>\ne, como [tex]z \\gt 0[\/tex], j\u00e1 que [tex]z[\/tex] \u00e9 o comprimento de um dos lados de um tri\u00e2ngulo, temos que [tex]\\boxed{z= \\dfrac{3}{\\sqrt{5}}}. \\, \\quad \\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex]<br \/>\nPor [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(v)} \\, [\/tex], segue que<br \/>\n[tex]\\qquad S_1=\\dfrac{z \\cdot h}{2}=\\dfrac{\\dfrac{3}{\\sqrt{5}} \\cdot \\dfrac{4}{\\sqrt{5}}}{2}=\\dfrac{\\dfrac{12}{5}}{2}=\\dfrac{12}{10}[\/tex]<br \/>\ne, ent\u00e3o, [tex]\\boxed{S_1=\\dfrac{6}{5} \\, \\text{cm}^2} \\, \\quad \\textcolor{#800000}{(vi)}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Finalmente, por [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)} \\, [\/tex], [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(vi)} \\, [\/tex], segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad S=\\dfrac{6}{5}+1=\\dfrac{6+5}{5}=\\dfrac{11}{5}[\/tex]<br \/>\ne, portanto, a \u00e1rea do quadril\u00e1tero [tex]BCFE[\/tex] \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{11}{5} \\, \\text{cm}^2$} \\, .[\/tex] <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/prob98_5.png\"  alt=\"\" width=\"178\" height=\"182\" class=\"alignright size-full wp-image-94378\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p>Observe, inicialmente, que a \u00e1rea [tex]S[\/tex] do quadrado [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 a soma das \u00e1reas dos tri\u00e2ngulos [tex]EAD[\/tex] e [tex]FCD[\/tex] e do quadril\u00e1tero [tex]BCFE \\, [\/tex], conforme podemos observar na figura ao lado.<br \/>\nAssim, [tex]\\boxed{S_1+S_2+S_3=4 \\, \\text{cm}^2}. \\quad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<br \/>\nPerceba que [tex]S_3[\/tex] \u00e9 a \u00e1rea pedida no problema, ent\u00e3o precisamos calcular as \u00e1reas [tex]S_1[\/tex] e [tex]S_2.[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li>\u00c1rea [tex]S_1[\/tex]<br \/>\nComo [tex]EAD[\/tex] \u00e9 um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo de catetos medindo [tex]1[\/tex] e [tex]2[\/tex] cent\u00edmetros, a \u00e1rea [tex]S_1[\/tex] \u00e9 dada por:<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{S_1= \\dfrac{1\\times 2}{2}=1 \\, \\text{cm}^2} \\, \\quad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>\u00c1rea [tex]S_2[\/tex]<br \/>\nAqui teremos um pouco mais de trabalho, pois precisaremos calcular os comprimentos dos segmentos [tex]CF[\/tex] e [tex]FD.[\/tex] Vamos l\u00e1&#8230;<\/li>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/prob98_6.png\" alt=\"\" width=\"202\" height=\"187\" class=\"alignright size-full wp-image-94394\" \/><\/p>\n<ul>\n<ul>\n<li>Para calcularmos o comprimento [tex]h[\/tex] do segmento  [tex]CF \\, [\/tex], observamos na figura ao lado que a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]EDC[\/tex] \u00e9 [tex]\\dfrac{2\\times 2}{2}=2 \\, \\text{cm}^2[\/tex] e que essa \u00e1rea pode tamb\u00e9m ser calculada utilizando-se como base o segmento [tex]ED[\/tex] e como altura o segmento  [tex]CF.[\/tex]<br \/>\nObserve  que, utilizando o Teorema de Pit\u00e1goras, podemos obter facilmente o comprimento do segmento [tex]ED[\/tex], uma vez que se esse comprimento for [tex]x \\, \\text{cm}[\/tex], ent\u00e3o [tex]x^2=2^2+1^2=5[\/tex] e, com isso, temos que [tex]\\boxed{x=\\sqrt{5} \\, \\text{cm}} \\, . \\quad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]<br \/>\nDessa forma, segue que:<br \/>\n [tex]\\qquad 2= \\dfrac{base \\times altura}{2}= \\dfrac{x \\times h}{2} \\stackrel{\\textcolor{#800000}{(iii)}}{=}  \\dfrac{\\sqrt{5} \\times h}{2}[\/tex]<br \/>\ndonde conclu\u00edmos que  [tex]\\boxed{h= \\dfrac{4}{\\sqrt{5}} \\, \\text{cm}}. [\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/prob98_7.png\" alt=\"\" width=\"181\" height=\"181\" class=\"alignright size-full wp-image-94402\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/prob98_7.png 181w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/prob98_7-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 181px) 100vw, 181px\" \/><\/p>\n<ul>\n<ul>\n<li>Para calcularmos o comprimento [tex]y[\/tex] do segmento  [tex]FD \\, [\/tex], observamos na figura ao lado que [tex]DFC[\/tex] \u00e9  um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo. Assim, utilizando o Teorema de Pit\u00e1goras, temos que:<br \/>\n[tex]\\qquad y^2+h^2=4[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad y^2+\\left( \\dfrac{4}{\\sqrt{5}} \\right)^2=4[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad y^2+\\dfrac{16}{5} =4[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad y^2=4-\\dfrac{16}{5}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad y^2=\\dfrac{4}{5}[\/tex]<br \/>\ne, sendo [tex]y \\gt 0[\/tex], conclu\u00edmos que [tex]\\boxed{y=\\dfrac{2}{\\sqrt{5}} \\, \\text{cm}}. [\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<p>Pronto, j\u00e1 podemos calcular a \u00e1rea [tex]S_2[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad S_2=\\dfrac{base \\times altura}{2}=\\dfrac{y\\times h}{2}=\\dfrac{\\dfrac{2}{\\sqrt{5}}\\times \\dfrac{4}{\\sqrt{5}}}{2}[\/tex]<br \/>\nou seja, [tex]\\boxed{S_2= \\dfrac{4}{5} \\, \\text{cm}^2}.  \\, \\quad \\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex] <\/ul>\n<p>Finalmente, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex], [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)} \\, [\/tex], segue que<br \/>\n[tex]\\qquad S_1+S_2+S_3=4[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad S_3=4-S_1-S_2[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad S_3=4-1-\\dfrac{4}{5}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad S_3=3-\\dfrac{4}{5}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad S_3=\\dfrac{15-4}{5}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad S_3=\\dfrac{11}{5}.[\/tex]<br \/>\nPortanto, a \u00e1rea do quadril\u00e1tero [tex]BCFE[\/tex] \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{11}{5} \\, \\text{cm}^2$} \\, .[\/tex] <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px; line-height:30px; width:85%; margin-left:auto; margin-right:auto; padding:20px; \">\n<p class=\"c3 ti3\">Ferramentas que podem ajudar na pr\u00f3xima solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"cb33\"  style=\"text-align: justify;  width: 95%;  padding: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; line-height:30px;\">\n<span style=\"color: #800000\"><strong>Propriedade [tex]1[\/tex]<\/strong><\/span>: Se duas retas paralelas s\u00e3o intersectadas por uma transversal, ent\u00e3o os pares de \u00e2ngulos alternos internos que essa transversal define s\u00e3o congruentes. Precisa relembrar estes conceitos? D\u00ea uma passadinha por <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-para-leitura_025-familia-de-angulos\/\" title=\"Sala para leitura: Fam\u00edlia de \u00e2ngulos\" target=\"_blank\"><strong>aqui<\/strong><\/a>.<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"cb33\"  style=\"text-align: justify;  width: 95%;  padding: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; line-height:30px;\">\n<span style=\"color: #800000;\"><strong>Propriedade [tex]2[\/tex]<\/strong><\/span>: <strong>Caso de Semelhan\u00e7a A.A.<\/strong> (\u00e2ngulo \u2013 \u00e2ngulo): Se dois \u00e2ngulos de um tri\u00e2ngulo s\u00e3o congruentes a dois \u00e2ngulos de outro tri\u00e2ngulo, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes. H\u00e1 uma <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-ajuda-triangulos-semelhantes\/\" title=\"Sala de ajuda: Tri\u00e2ngulos semelhantes\"target=\"_blank\"><strong>Sala de Ajuda<\/strong><\/a> sobre o tema no Blog!<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"cb33\"  style=\"text-align: justify;  width: 95%;  padding: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; line-height:30px;\">\n<span style=\"color: #800000;\"><strong>Propriedade [tex]3[\/tex]<\/strong><\/span>: A raz\u00e3o entre as \u00e1reas de dois tri\u00e2ngulos semelhantes \u00e9 o quadrado da raz\u00e3o de semelhan\u00e7a.\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:37px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 3<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/prob98_5.png\"  alt=\"\u00c1rea total como soma de tr\u00eas \u00e1reas\" width=\"178\" height=\"182\" class=\"alignright size-full wp-image-94378\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p>Esta solu\u00e7\u00e3o come\u00e7a como a anterior, observando que a \u00e1rea [tex]S[\/tex] do quadrado [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 a soma das \u00e1reas dos tri\u00e2ngulos [tex]EAD[\/tex] e [tex]FCD[\/tex] e do quadril\u00e1tero [tex]BCFE \\, [\/tex], conforme podemos observar na figura ao lado. Assim, [tex]\\boxed{S_1+S_2+S_3=4 \\, \\text{cm}^2} \\quad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex].<br \/>\nPerceba que [tex]S_3[\/tex] \u00e9 a \u00e1rea pedida no problema, ent\u00e3o precisamos calcular as \u00e1reas [tex]S_1[\/tex] e [tex]S_2.[\/tex]<br \/>\nA \u00e1rea [tex]S_1[\/tex] \u00e9 imediata pois, como [tex]EAD[\/tex] \u00e9 um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo de catetos medindo [tex]1[\/tex] e [tex]2[\/tex] cent\u00edmetros, temos:<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{S_1= \\dfrac{1\\times 2}{2}=1 \\, \\text{cm}^2} \\, \\quad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex].<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/prob98_8.png\" alt=\"\" width=\"176\" height=\"187\" class=\"alignright size-full wp-image-95411\" \/><br \/>\n Para prosseguir, vamos utilizar a semelhan\u00e7a entre os tri\u00e2ngulos [tex]AED[\/tex] e [tex]FDC[\/tex].<br \/>\nDe fato, note que os \u00e2ngulos [tex]FDC \\, [\/tex]e [tex] \\,  AED[\/tex] s\u00e3o congruentes, pois s\u00e3o \u00e2ngulos alternos internos definidos por duas paralelas e uma transversal. Logo, pelo caso [tex]A.A.[\/tex], os tri\u00e2ngulos [tex]AED[\/tex] e [tex]FDC[\/tex] s\u00e3o semelhantes (ver figura ao lado).<br \/>\nVeja que a raz\u00e3o de semelhan\u00e7a pode ser obtida pela raz\u00e3o entre os comprimentos das hipotenusas dos tri\u00e2ngulos [tex]AED[\/tex] e [tex]FDC[\/tex], digamos [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, f[\/tex], respectivamente:<br \/>\n[tex]\\qquad \\dfrac{a}{f}=\\boxed{\\dfrac{a}{2}} \\,  \\quad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]<br \/>\ne podemos calcular o comprimento [tex]a \\, [\/tex] do segmento [tex]DE[\/tex] aplicando o Teorema de Pit\u00e1goras ao tri\u00e2ngulo [tex]AED[\/tex], j\u00e1 que conhecemos os comprimentos dos catetos [tex]\\overline{AE}[\/tex] e [tex]\\overline{AD} \\, [\/tex], respectivamente [tex]1 \\, \\text{cm}[\/tex] e [tex]2 \\, \\text{cm}[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad a^2=1^2+2^2=5[\/tex], donde [tex]\\boxed{DE=\\sqrt5 \\, \\text{cm}} \\, \\quad \\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex].<br \/>\nPor [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex], a raz\u00e3o de semelhan\u00e7a entre os tri\u00e2ngulos [tex]AED[\/tex] e [tex]FDC[\/tex] \u00e9 dada por [tex]\\dfrac{DE}{2}=\\boxed{\\dfrac{\\sqrt5}{2}}[\/tex]. Logo, a raz\u00e3o entre as \u00e1reas desses tri\u00e2ngulos ser\u00e1 [tex]\\dfrac{S_1}{S_2}=\\left(\\dfrac{\\sqrt5}{2}\\right)^2=\\dfrac{5}{4}[\/tex], isto \u00e9, teremos [tex]S_2=\\dfrac{4}{5}S_1=\\dfrac{4}{5}\\times 1=\\boxed{\\dfrac{4}{5} \\, \\text{cm}^2}  \\, \\quad \\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex].<br \/>\nFinalmente, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex], [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(v)} \\, [\/tex], segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad S_1+S_2+S_3=4[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad S_3=4-S_1-S_2[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad S_3=4-1-\\dfrac{4}{5}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad S_3=3-\\dfrac{4}{5}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad S_3=\\dfrac{15-4}{5}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad S_3=\\dfrac{11}{5}.[\/tex]<\/p>\n<p>Portanto, a \u00e1rea do quadril\u00e1tero [tex]BCFE[\/tex] \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{11}{5} \\, \\text{cm}^2$} \\, .[\/tex] <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil) Na figura abaixo, temos um quadrado [tex]ABCD[\/tex] de lado [tex]2 \\, \\text{cm}[\/tex]; [tex]E[\/tex] \u00e9 o ponto m\u00e9dio do segmento [tex]AB[\/tex] e [tex]F[\/tex] \u00e9 um ponto entre [tex]E[\/tex] e [tex]D[\/tex]. Se os segmentos [tex]CF[\/tex] &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-area-de-um-quadrilatero\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-94489","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94489","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=94489"}],"version-history":[{"count":26,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94489\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":198105,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94489\/revisions\/198105"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=94489"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}