{"id":94244,"date":"2018-01-16T15:55:07","date_gmt":"2018-01-16T17:55:07","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=94244"},"modified":"2023-07-27T02:32:44","modified_gmt":"2023-07-27T05:32:44","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-multiplos-de-2-multiplos-de-3","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-multiplos-de-2-multiplos-de-3\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: M\u00faltiplos de 2, m\u00faltiplos de 3&#8230;"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=198116\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#8D918D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 8\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Quantos m\u00faltiplos  de  [tex]2[\/tex] e quantos m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex], que n\u00e3o sejam simultaneamente m\u00faltiplos de ambos, existem entre [tex]1[\/tex] e [tex]2017[\/tex]?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Faremos tr\u00eas observa\u00e7\u00f5es iniciais.<br \/>\n<strong>(1)<\/strong> Os m\u00faltiplos naturais de [tex]2[\/tex] s\u00e3o da forma [tex]2k[\/tex], com [tex]k[\/tex] um n\u00famero natural. Assim:<\/p>\n<ul>\n<ul>\n<li> como procuramos n\u00fameros naturais da forma [tex]2k[\/tex] entre [tex]1[\/tex]  e [tex]2017 \\, [\/tex],<\/li>\n<li>como  [tex]1[\/tex] e [tex]2017[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros \u00edmpares, <\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<p>ent\u00e3o, [tex]1\\lt 2k \\lt 2017[\/tex], ou mais precisamente, [tex]2\\leqslant 2k \\leqslant 2016.[\/tex]<br \/>\nCom isso, percebemos que [tex]k[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural tal que [tex]1\\leqslant k \\leqslant 1008[\/tex] e, portanto, temos [tex]1008[\/tex] poss\u00edveis valores de [tex]k.[\/tex] Consequentemente, existem <span class=\"c3\">[tex]\\boxed{1008}[\/tex]  n\u00fameros pares entre [tex]1[\/tex] e [tex]2017[\/tex]<\/span>. <\/p>\n<p><strong>(2)<\/strong> Os m\u00faltiplos naturais de [tex]3[\/tex] s\u00e3o da forma [tex]3t[\/tex], com [tex]t[\/tex] um n\u00famero natural. Assim:<\/p>\n<ul>\n<ul>\n<li>como procuramos n\u00fameros naturais da forma [tex]3t[\/tex] entre [tex]1[\/tex] e [tex]2017 \\, [\/tex],<\/li>\n<li> como sabemos que  [tex]1, \\, 2[\/tex] e [tex]2017[\/tex] n\u00e3o s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex],<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<p> ent\u00e3o, [tex]2\\lt 3t \\lt 2017[\/tex], ou mais precisamente, [tex]3\\leqslant 3t \\leqslant 2016.[\/tex]<br \/>\nCom isso percebemos que [tex]t[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural tal que [tex]1\\leqslant t \\leqslant 672[\/tex] e, portanto,  temos [tex]672[\/tex] poss\u00edveis valores de [tex]t.[\/tex] Consequentemente, existem <span class=\"c3\">[tex]\\boxed{672}[\/tex]  m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex] entre [tex]1[\/tex] e [tex]2017[\/tex]<\/span>. <\/p>\n<p><strong>(3)<\/strong> Os m\u00faltiplos comuns de [tex]2[\/tex]  e de [tex]3[\/tex] s\u00e3o da forma [tex]6n[\/tex], com [tex]n[\/tex] um n\u00famero natural. Assim:<\/p>\n<ul>\n<ul>\n<li>como procuramos n\u00fameros naturais da forma [tex]6n[\/tex] entre [tex]1[\/tex] e [tex]2017 \\, [\/tex],<\/li>\n<li> como  [tex]1, \\, 2, \\, 3, \\, 4, \\, 5[\/tex] e [tex]2017[\/tex] n\u00e3o s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]6[\/tex], <\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<p>ent\u00e3o, [tex]5\\lt 6n \\lt 2017[\/tex], ou mais precisamente, [tex]6\\leqslant 6n \\leqslant 2016.[\/tex] <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Com isso percebemos que [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural tal que [tex]1\\leqslant n \\leqslant 336[\/tex] e, portanto, temos [tex]336[\/tex] poss\u00edveis valores de [tex]n.[\/tex] Consequentemente, existem <span class=\"c3\">[tex]\\boxed{336}[\/tex]  m\u00faltiplos simult\u00e2neos de [tex]2[\/tex] e de [tex]3[\/tex] entre [tex]1[\/tex] e [tex]2017[\/tex]<\/span>.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Observe agora que:<\/p>\n<ul>\n<li>Dentre os [tex]1008[\/tex] m\u00faltiplos de [tex]2[\/tex] est\u00e3o inclu\u00eddos os [tex]336[\/tex] m\u00faltiplos de [tex]6[\/tex] que n\u00e3o nos interessam, pois s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex] tamb\u00e9m. Portanto, temos [tex]1008-336=\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$672$} \\, [\/tex] m\u00faltiplos de [tex]2[\/tex] que n\u00e3o s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]3 \\, .[\/tex]<\/li>\n<li>Dentre os [tex]672[\/tex] m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex] est\u00e3o inclu\u00eddos os [tex]336[\/tex] m\u00faltiplos de [tex]6[\/tex] que, tamb\u00e9m, n\u00e3o nos interessam, pois s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]2[\/tex]. Portanto temos [tex]672-336=\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$336$} \\, [\/tex] m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex] que n\u00e3o s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]2 \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dessa forma, existem [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$672+336=1008$} \\, [\/tex] m\u00faltiplos de [tex]2[\/tex] e m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex], que n\u00e3o s\u00e3o simultaneamente m\u00faltiplos de ambos.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob86_2.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"349\" height=\"89\" class=\"aligncenter size-full wp-image-92974\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob86_2.png 349w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob86_2-300x77.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 349px) 100vw, 349px\" \/><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<ul>\n<li>Observe que entre dois naturais consecutivos existe exatamente um que \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]2[\/tex]. Assim, podemos procurar os m\u00faltiplos de [tex]2[\/tex] entre [tex]1[\/tex] e [tex]2017[\/tex] agrupando todos os n\u00fameros de [tex]1[\/tex] a [tex]2017[\/tex] de dois em dois. <\/li>\n<\/ul>\n<table class=\"bf\" style=\"width:95%\">\n<tr>\n<td  class=\"bf\" style=\"line-height:25px;\">\n[tex]\\qquad \\begin{array}{r}<br \/>\n2017\\end{array}   \\begin{array}{|r}<br \/>\n \\, 2 \\,  \\,  \\\\  \\hline<br \/>\n\\end{array}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad\\begin{array}{r}<br \/>\n \\,  \\,  \\, 1<br \/>\n\\end{array}\\begin{array}{r}<br \/>\n  \\,  \\,  \\, 1008<br \/>\n\\end{array}[\/tex]\n<\/td>\n<td  class=\"bf g1\"> Ao dividirmos [tex]2017[\/tex] por [tex]2[\/tex], obtemos [tex]1008[\/tex], com resto [tex]1[\/tex]. Isso significa que conseguimos formar [tex]1008[\/tex] grupos de dois n\u00fameros consecutivos e o n\u00famero [tex]2017[\/tex] fica sozinho. Pelas nossas observa\u00e7\u00f5es, teremos ent\u00e3o <span class=\"c3\">[tex]\\boxed{1008}[\/tex]  m\u00faltiplos de [tex]2[\/tex] entre [tex]1[\/tex] e [tex]2017[\/tex]<\/span>.\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<ul>\n<li>Observe, agora, que entre tr\u00eas naturais consecutivos existe exatamente um que \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex]. Logo, para procurar os m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex] entre [tex]1[\/tex] e [tex]2017[\/tex], vamos agrupar os n\u00fameros de [tex]1[\/tex] a [tex]2017[\/tex] de tr\u00eas em tr\u00eas. <\/li>\n<\/ul>\n<table class=\"bf\" style=\"width:95%\">\n<tr>\n<td  class=\"bf\" style=\"line-height:25px;\">\n[tex]\\qquad \\begin{array}{r}<br \/>\n2017\\end{array}   \\begin{array}{|r}<br \/>\n \\, 3 \\,  \\,  \\\\  \\hline<br \/>\n\\end{array}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad\\begin{array}{r}<br \/>\n \\,  \\,  \\, 1<br \/>\n\\end{array}\\begin{array}{r}<br \/>\n  \\,  \\,  \\, 672<br \/>\n\\end{array}[\/tex]\n<\/td>\n<td  class=\"bf g1\"> Ao dividirmos [tex]2017[\/tex] por [tex]3[\/tex], obtemos [tex]672[\/tex], com resto [tex]1[\/tex]. Assim, conseguimos formar [tex]672[\/tex] grupos de tr\u00eas n\u00fameros consecutivos e o n\u00famero [tex]2017[\/tex] fica sozinho. Pelas nossas observa\u00e7\u00f5es, teremos ent\u00e3o <span class=\"c3\">[tex]\\boxed{672}[\/tex]  m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex] entre [tex]1[\/tex] e [tex]2017[\/tex]<\/span>.\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<ul>\n<li>Observe, por \u00faltimo, que entre seis naturais consecutivos existe exatamente um que \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]6[\/tex], portanto m\u00faltiplo de [tex]2[\/tex] e de [tex]3[\/tex], simultaneamente. Perceba, ent\u00e3o, que podemos procurar os m\u00faltiplos de [tex]6[\/tex] entre [tex]1[\/tex] e [tex]2017[\/tex], agrupando os n\u00fameros de [tex]1[\/tex] a [tex]2017[\/tex] de seis em seis. <\/li>\n<\/ul>\n<table class=\"bf\" style=\"width:95%\">\n<tr>\n<td  class=\"bf\" style=\"line-height:25px;\">\n[tex]\\qquad \\begin{array}{r}<br \/>\n2017\\end{array}   \\begin{array}{|r}<br \/>\n \\, 6 \\,  \\,  \\\\  \\hline<br \/>\n\\end{array}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad\\begin{array}{r}<br \/>\n \\,  \\,  \\, 1<br \/>\n\\end{array}\\begin{array}{r}<br \/>\n  \\,  \\,  \\, 336<br \/>\n\\end{array}[\/tex]\n<\/td>\n<td  class=\"bf g1\"> Ao dividirmos [tex]2017[\/tex] por [tex]6[\/tex], obtemos [tex]336[\/tex], com resto [tex]1[\/tex]. Assim, conseguimos formar [tex]336[\/tex] grupos de seis n\u00fameros consecutivos e [tex]2017[\/tex] fica sozinho. Pelas nossas observa\u00e7\u00f5es, teremos ent\u00e3o <span class=\"c3\">[tex]\\boxed{336}[\/tex]  m\u00faltiplos de [tex]6[\/tex] entre [tex]1[\/tex] e [tex]2017[\/tex]<\/span>.\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>Para finalizar, observe que:<\/p>\n<ul>\n<li>Dentre os [tex]1008[\/tex] m\u00faltiplos de [tex]2[\/tex] est\u00e3o inclu\u00eddos os [tex]336[\/tex] m\u00faltiplos de [tex]6[\/tex] que n\u00e3o nos interessam, pois s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex] tamb\u00e9m. Portanto temos [tex]1008-336=\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$672$} \\, [\/tex] m\u00faltiplos de [tex]2[\/tex] que n\u00e3o s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]3 \\, .[\/tex]<\/li>\n<li>Dentre os [tex]672[\/tex] m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex] est\u00e3o inclu\u00eddos os [tex]336[\/tex] m\u00faltiplos de [tex]6[\/tex] que, tamb\u00e9m, n\u00e3o nos interessam, pois s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]2[\/tex]. Portanto temos [tex]672-336=\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$336$} \\, [\/tex] m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex] que n\u00e3o s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]2 \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pelos nossos c\u00e1lculos e nossas observa\u00e7\u00f5es, temos  [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$672+336=1008$} \\, [\/tex] m\u00faltiplos de [tex]2[\/tex] e m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex], que n\u00e3o s\u00e3o simultaneamente m\u00faltiplos de ambos.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob86_2.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"349\" height=\"89\" class=\"aligncenter size-full wp-image-92974\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob86_2.png 349w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob86_2-300x77.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 349px) 100vw, 349px\" \/><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted;border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/M\u00faltiplos-de-2-m\u00faltiplos-de-3-compactado.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ M\u00faltiplos de 2, m\u00faltiplos de 3.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 8\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil) Quantos m\u00faltiplos de [tex]2[\/tex] e quantos m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex], que n\u00e3o sejam simultaneamente m\u00faltiplos de ambos, existem entre [tex]1[\/tex] e [tex]2017[\/tex]? Solu\u00e7\u00e3o 1 Faremos tr\u00eas observa\u00e7\u00f5es iniciais. (1) Os m\u00faltiplos naturais de [tex]2[\/tex] &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-multiplos-de-2-multiplos-de-3\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-94244","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94244","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=94244"}],"version-history":[{"count":18,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94244\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":198118,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94244\/revisions\/198118"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=94244"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}