{"id":94233,"date":"2018-01-16T15:35:25","date_gmt":"2018-01-16T17:35:25","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=94233"},"modified":"2023-07-27T02:36:24","modified_gmt":"2023-07-27T05:36:24","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-bonequinhas-coloridas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-bonequinhas-coloridas\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Bonequinhas coloridas"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

\n

Problema
\n (A partir do 8\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

\nPara presentear sua av\u00f3, Aninha pintou um quadro com bonequinhas coloridas de tamanhos diferentes, de forma que, a partir da primeira, a altura de cada uma corresponde a 3\/4 da altura da bonequinha anterior.
\nSe a maior delas tem 16 cm de altura, qual \u00e9 o n\u00famero natural que melhor aproxima a altura, em mil\u00edmetros, da bonequinha menor?<\/p>\n

\n\"\"A figura n\u00e3o est\u00e1 em escala<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\n\"\"<\/p>\n

\n

Como no quadro que Aninha pintou aparecem apenas seis bonequinhas, podemos fazer as contas diretamente, sem utilizar nenhum artif\u00edcio:<\/p>\n

\n[tex]\\begin{array}{|l|l|}
\n\\hline
\n\\text{Bonequinha 1}& h_1=16 \\, cm\\\\
\n\\hline
\n\\text{Bonequinha 2}& h_2=h_1\\times \\dfrac{3}{4}=12 \\, cm\\\\
\n\\hline
\n\\text{Bonequinha 3}& h_3=h_2\\times \\dfrac{3}{4}=9 \\, cm\\\\
\n\\hline
\n\\text{Bonequinha 4}& h_4=h_3\\times \\dfrac{3}{4}=6,75 \\, cm\\\\
\n\\hline
\n\\text{Bonequinha 5}& h_5=h_4\\times \\dfrac{3}{4}=5,0625 \\, cm\\\\
\n\\hline
\n\\text{Bonequinha 6}& h_6=h_5 \\times \\dfrac{3}{4}=3,796875 \\, cm\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

A figura ao lado mostra a varia\u00e7\u00e3o em cent\u00edmetros das alturas das bonequinhas.<\/p>\n

Pelos nossos c\u00e1lculos a altura da sexta bonequinha \u00e9 [tex]3,796875 \\, [\/tex] cent\u00edmetros ou, de forma equivalente, [tex]37,96875 \\, [\/tex] mil\u00edmetros.
\nAssim, o n\u00famero natural que melhor aproxima a altura, em mil\u00edmetros, da bonequinha menor \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$38$}\\, .[\/tex]<\/p>\n

<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\n

Poder\u00edamos ter resolvido algebricamente este problema, tentando estabelecer um padr\u00e3o para a varia\u00e7\u00e3o das alturas das bonequinhas. Se n\u00e3o fiz\u00e9ssemos as continhas indicadas na tabela, poder\u00edamos observar a sequ\u00eancia alg\u00e9brica das alturas e estabelecer esse padr\u00e3o. Observe.<\/p>\n

\n[tex]\\begin{array}{|l|l|}
\n\\hline
\n\\text{Bonequinha 1}& h_1=16 \\, cm\\\\
\n\\hline
\n\\text{Bonequinha 2}& h_2=16\\times \\dfrac{3}{4}\\\\
\n\\hline
\n\\text{Bonequinha 3}& h_3=\\left(16\\times \\dfrac{3}{4}\\right)\\times \\dfrac{3}{4}=16\\times\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^2=16\\times \\dfrac{3^2}{4^2}\\\\
\n\\hline
\n\\text{Bonequinha 4}& h_4=\\left(16\\times\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^2\\right)\\times \\dfrac{3}{4}=16\\times\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^3=16\\times \\dfrac{3^3}{4^3}\\\\
\n\\hline
\n\\text{Bonequinha 5}& h_5=\\left(16\\times\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^3\\right)\\times \\dfrac{3}{4}=16\\times\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^4=16\\times \\dfrac{3^4}{4^4}\\\\
\n\\hline
\n\\qquad \\vdots &\\qquad \\qquad \\vdots \\\\
\n\\hline
\n\\text{Bonequinha n,} \\\\
\n \\text{com }n \\gt 2 & h_n=\\left(16\\times\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^{n-2}\\right)\\times \\dfrac{3}{4}=16\\times\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^{n-1}=16\\times \\dfrac{3^{n-1}}{4^{n-1}}\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

A vantagem desse m\u00e9todo, n\u00e3o \u00e9 observada para [tex]n=6[\/tex], pois a pr\u00f3xima linha da segunda tabela nos daria a altura correspondente. Mas observe que, usando o padr\u00e3o, podemos facilmente perceber, por exemplo, que a altura de uma suposta vig\u00e9sima bonequinha seria dada pelo padr\u00e3o [tex] \\boxed{h_n=16\\times\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^{n-1}=16\\times \\dfrac{3^{n-1}}{4^{n-1}}}[\/tex], quando [tex]n=20[\/tex]: [tex]\\boxed{h_{20}=16\\times\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^{19}=16\\times \\dfrac{3^{19}}{4^{19}}}\\, .[\/tex]<\/p>\n

\u00c9 claro que depender\u00edamos de uma calculadora para efetuarmos as contas indicadas e obtermos:
\n [tex]\\qquad h_{20}\\approx 0,06765 \\, cm=0,6765 \\, mm \\,.[\/tex] <\/p>\n

\n(Nem enxergar\u00edamos a bonequinha, mas saber\u00edamos a sua altura!!!!)<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

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\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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