{"id":94228,"date":"2018-01-16T15:24:55","date_gmt":"2018-01-16T17:24:55","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=94228"},"modified":"2023-07-27T02:39:50","modified_gmt":"2023-07-27T05:39:50","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-qual-a-medida","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-qual-a-medida\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Qual a medida?"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=198126\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#8D918D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nNo tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] da figura, as medidas em graus dos \u00e2ngulos [tex]B\\hat{A}C[\/tex] e [tex]A\\hat{B}C[\/tex] s\u00e3o [tex]\\alpha[\/tex] e [tex]\\beta[\/tex], respectivamente.<br \/>\nSabendo que  [tex]\\overline{CD}[\/tex] \u00e9 a bissetriz do \u00e2ngulo [tex]A\\hat{C}B[\/tex] e [tex]\\overline{CE}[\/tex] \u00e9 perpendicular a [tex]\\overline{AB}[\/tex], qual a medida em graus do \u00e2ngulo [tex]D\\hat{C}E[\/tex]?<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/08\/prob89_2.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"285\" height=\"196\" class=\"alignright size-full wp-image-81757\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>(A)<\/strong>[tex] \\, \\dfrac{180-(\\alpha-\\beta)}{2}[\/tex]<\/p>\n<p><strong>(B)<\/strong>[tex] \\, \\dfrac{\\beta-\\alpha}{2}[\/tex]<\/p>\n<p><strong>(C)<\/strong>[tex] \\, \\dfrac{\\alpha+2\\beta}{2}[\/tex]<\/p>\n<p><strong>(D)<\/strong>[tex] \\, \\dfrac{360-\\alpha-2\\beta}{2}[\/tex]<\/p>\n<p><strong>(E)<\/strong>[tex] \\, \\dfrac{\\alpha+\\beta}{2}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:80%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> Lembretes <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"> &#10000; <\/span> Bissetriz de um tri\u00e2ngulo \u00e9 um segmento com extremidades em um v\u00e9rtice desse tri\u00e2ngulo e no respectivo lado oposto e que divide o \u00e2ngulo interno definido por esse v\u00e9rtice em dois \u00e2ngulos com a mesma medida.<br \/>\n<span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"> &#10000; <\/span> A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^{\\circ}[\/tex]. <span style=\"font-size: 11px;\">(Se precisar, visite <strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=6832\" target=\"_blank\" title=\"Brincando com Geometria: Soma dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo.\" >esta p\u00e1gina<\/a><\/strong>.)<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob89_4.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"309\" height=\"223\" class=\"alignright size-full wp-image-93180\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob89_4.png 309w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob89_4-300x217.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 309px) 100vw, 309px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p>Como  [tex]\\overline{CD}[\/tex] \u00e9 a bissetriz do \u00e2ngulo [tex]A\\hat{C}B[\/tex], ent\u00e3o os \u00e2ngulos [tex]A\\hat{C}D[\/tex] e [tex]D\\hat{C}B[\/tex] t\u00eam a mesma medida. Seja [tex]a[\/tex] a medida em graus desses \u00e2ngulos, conforme mostra a figura ao lado. Nessa figura, indicamos por [tex]x[\/tex] a medida em graus do \u00e2ngulo [tex]D\\hat{C}E[\/tex] e a qual iremos calcular.<\/p>\n<ul>\n<li>Observe, inicialmente, que a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos do tri\u00e2ngulo [tex]ACB[\/tex] \u00e9 [tex]180^{\\circ}[\/tex]; assim:<br \/>\n[tex]\\qquad \\alpha+2a+\\beta=180^{\\circ}. \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/li>\n<li>Tamb\u00e9m, a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos do tri\u00e2ngulo [tex]ECB[\/tex] \u00e9 [tex]180^{\\circ}[\/tex], portanto:<br \/>\n[tex]\\qquad 90^{\\circ}+(a-x)+\\beta=180^{\\circ}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad a=x-\\beta+90^{\\circ}. \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\textcolor{#800000}{(ii)} \\, [\/tex], segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\alpha+2\\left(x-\\beta+90^{\\circ} \\right)+\\beta=180^{\\circ}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\alpha+2x-2\\beta+180^{\\circ} +\\beta=180^{\\circ}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\alpha+2x-\\beta+180^{\\circ}=180^{\\circ}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 2x=180^{\\circ}-\\alpha+\\beta-180^{\\circ}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 2x=\\beta-\\alpha[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=\\dfrac{\\beta-\\alpha}{2}$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Portanto a alternativa correta \u00e9 a <strong>(B)<\/strong>.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted;border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/Qual-a-medida.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Qual a medida.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) No tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] da figura, as medidas em graus dos \u00e2ngulos [tex]B\\hat{A}C[\/tex] e [tex]A\\hat{B}C[\/tex] s\u00e3o [tex]\\alpha[\/tex] e [tex]\\beta[\/tex], respectivamente. Sabendo que [tex]\\overline{CD}[\/tex] \u00e9 a bissetriz do \u00e2ngulo [tex]A\\hat{C}B[\/tex] e [tex]\\overline{CE}[\/tex] \u00e9 perpendicular a &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-qual-a-medida\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-94228","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94228","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=94228"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94228\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":198130,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94228\/revisions\/198130"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=94228"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}