{"id":94217,"date":"2018-01-16T15:08:07","date_gmt":"2018-01-16T17:08:07","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=94217"},"modified":"2023-07-27T02:43:33","modified_gmt":"2023-07-27T05:43:33","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-numeros-naturais-consecutivos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-numeros-naturais-consecutivos\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: N\u00fameros naturais consecutivos"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=198134\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#8D918D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 8\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nO produto de tr\u00eas n\u00fameros naturais consecutivos \u00e9 divis\u00edvel por [tex]7[\/tex].<br \/>\nQuais dos n\u00fameros abaixo n\u00e3o s\u00e3o <strong>necessariamente <\/strong>divisores desse produto?<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n[tex]\\qquad \\qquad  \\fcolorbox{black}{yellow}{6} \\qquad  \\qquad  \\fcolorbox{black}{#ADD8E6}{14}  \\qquad \\qquad  \\fcolorbox{black} {#EECFA1}{21} \\qquad \\qquad  \\fcolorbox{black}{#C1FFC1}{28} \\qquad \\qquad  \\fcolorbox{black}{#FFBBFF}{42}[\/tex]\n<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:80%; margin-left:auto; margin-right:auto;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\" alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> Fatos que ajudam<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><strong>Propriedade 1:<\/strong> O produto de dois n\u00fameros naturais consecutivos \u00e9 divis\u00edvel por [tex]2[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>Propriedade 2:<\/strong> O produto de tr\u00eas n\u00fameros naturais consecutivos \u00e9 divis\u00edvel por [tex]3[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>Propriedade 3:<\/strong> Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural divis\u00edvel pelos n\u00fameros naturais [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex]  tais que [tex]mdc(a,b)=1[\/tex], ent\u00e3o [tex]n[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m divis\u00edvel pelo produto [tex]a\\cdot b[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o  <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nSeja [tex]p[\/tex] o produto dos tr\u00eas n\u00fameros naturais consecutivos em quest\u00e3o. O que podemos afirmar sobre [tex]p[\/tex] ?<\/p>\n<ul>\n<li>Pelas <strong>Propriedades 1 e 2<\/strong> temos que [tex]p[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]2[\/tex]  e por [tex]3[\/tex].<\/li>\n<li>Como [tex]p[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]2[\/tex] e por [tex]3[\/tex] e [tex]mdc(2,3)=1[\/tex], pela <strong>Propriedade 3<\/strong> temos que [tex]p[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]2 \\times 3=6[\/tex].<\/li>\n<li>Como [tex]p[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]6[\/tex] e por [tex]7[\/tex] e [tex]mdc(6,7)=1[\/tex], ent\u00e3o pela <strong>Propriedade 3<\/strong> temos que [tex]p[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]6 \\times 7=42[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Sendo divis\u00edvel por [tex]42[\/tex], ent\u00e3o [tex]p[\/tex] \u00e9 da forma [tex]\\boxed{p=42k}[\/tex], para algum n\u00famero natural [tex]k[\/tex]. Dessa forma:<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span class=\"c3\"><strong>(1)<\/strong><\/span> J\u00e1 sabemos que [tex]p[\/tex] \u00e9 necessariamente divis\u00edvel por [tex]\\fcolorbox{black}{yellow}{6}[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span class=\"c3\"><strong>(2)<\/strong><\/span> Como [tex] \\, p=42k[\/tex], ent\u00e3o [tex] \\, p=42k=14\\left(3k\\right)[\/tex].<br \/>\nAssim, se [tex]k_2=3k[\/tex], temos que [tex]p=14k_2[\/tex], com [tex]k_2 \\in \\mathbb{N}[\/tex] e, portanto, [tex]p[\/tex] \u00e9 necessariamente divis\u00edvel por [tex]\\fcolorbox{black}{#ADD8E6}{14}[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span class=\"c3\"><strong>(3)<\/strong><\/span> Como [tex] \\, p=42k[\/tex], ent\u00e3o [tex] \\, p=42k=21\\left(2k\\right)[\/tex].<br \/>\nAssim, se [tex]k_3=2k[\/tex], temos que [tex]p=21k_3[\/tex], com [tex]k_3 \\in \\mathbb{N}[\/tex] e, portanto, [tex]p[\/tex] \u00e9 necessariamente divis\u00edvel por [tex]\\fcolorbox{black} {#EECFA1}{21}[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span class=\"c3\"><strong>(4)<\/strong><\/span> J\u00e1 sabemos que   [tex]p[\/tex] \u00e9 necessariamente divis\u00edvel por [tex]\\fcolorbox{black}{#FFBBFF}{42}[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span class=\"c3\"><strong>(5)<\/strong><\/span> Resta apenas analisar o [tex]28[\/tex]. Observe que de [tex] \\, p=42k[\/tex], com [tex]k \\in \\mathbb{N}[\/tex], n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel escrevermos [tex]p[\/tex] na forma [tex] \\, p=28t[\/tex], com [tex]t \\in \\mathbb{N}[\/tex], sem supormos que [tex]k[\/tex] seja m\u00faltiplo de [tex]2[\/tex]. Como [tex]k[\/tex]  n\u00e3o \u00e9 necessariamente um n\u00famero par, [tex]\\fcolorbox{black}{#C1FFC1}{28}[\/tex] n\u00e3o \u00e9 necessariamente divisor de um produto de tr\u00eas n\u00fameros naturais consecutivos que seja  divis\u00edvel por [tex]7[\/tex].<br \/>\nVeja alguns exemplos:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]5\\times 6 \\times 7=210[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]13\\times 14 \\times 15=2730[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]21\\times 22\\times 23=10626[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Assim, alguns produtos da forma especificada no problema podem ser divis\u00edveis por [tex]28[\/tex], mas produtos dessa forma n\u00e3o precisam ser <strong>sempre <\/strong>divis\u00edveis por [tex]28[\/tex]!<\/ul>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted;border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/N\u00fameros-naturais-consecutivos.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ N\u00fameros naturais consecutivos.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 8\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil) O produto de tr\u00eas n\u00fameros naturais consecutivos \u00e9 divis\u00edvel por [tex]7[\/tex]. Quais dos n\u00fameros abaixo n\u00e3o s\u00e3o necessariamente divisores desse produto? [tex]\\qquad \\qquad \\fcolorbox{black}{yellow}{6} \\qquad \\qquad \\fcolorbox{black}{#ADD8E6}{14} \\qquad \\qquad \\fcolorbox{black} {#EECFA1}{21} \\qquad \\qquad &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-numeros-naturais-consecutivos\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-94217","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94217","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=94217"}],"version-history":[{"count":16,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94217\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":198136,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94217\/revisions\/198136"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=94217"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}