{"id":94206,"date":"2018-01-16T14:29:57","date_gmt":"2018-01-16T16:29:57","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=94206"},"modified":"2023-04-15T04:46:14","modified_gmt":"2023-04-15T07:46:14","slug":"problema-medidas-num-quadrado","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-medidas-num-quadrado\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Medidas num quadrado"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Na figura abaixo, [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 um quadrado.<br \/>\nSabendo que [tex]BP = 8\\,cm[\/tex] e que [tex]QD = 9\\,cm[\/tex], calcule a medida de [tex]\\overline{PQ}[\/tex].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/Quadrado.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"292\" height=\"277\" class=\"aligncenter size-full wp-image-79221\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:80%; margin-left:auto; margin-right:auto;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\" alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> Lembretes <\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><strong>1)<\/strong> Para valores reais de [tex]x[\/tex] tais que [tex]\\begin{cases}<br \/>\nx\\ne \\frac{\\pi}{2}+k\\pi,\\forall k \\in \\mathbb{Z}\\\\<br \/>\nx\\ne \\frac{\\pi}{4}+k\\frac{\\pi}{2},\\forall k \\in \\mathbb{Z}<br \/>\n\\end{cases}[\/tex]  \u00e9 v\u00e1lida a seguinte identidade trigonom\u00e9trica:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad tg(2x)=\\dfrac{2\\, tg(x)}{1-tg^2(x)}.[\/tex] <em>(tangente do arco duplo)<\/em><\/p>\n<p><strong>2)<\/strong> \u00c2ngulos alternos internos definidos por duas paralelas e uma transversal s\u00e3o congruentes! Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra do assunto, n\u00e3o deixe de dar uma passadinha nesta <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=93419\" title=\"Fam\u00edlia de \u00e2ngulos\" target=\"_blank\"><strong>Sala para Leitura<\/strong><\/a>. \t <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/Eduardo_15.png\" style=\"border:none\"  alt=\"\" width=\"350\" height=\"356\" class=\"alignright size-full wp-image-93415\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<ul>\n<li>Perceba que temos [tex]B\\hat{P}A = 2x[\/tex], pois [tex]B\\hat{P}A[\/tex] e [tex]P\\hat{A}D[\/tex] s\u00e3o alternos internos definidos por duas paralelas e uma transversal sendo, portanto, congruentes.  <\/li>\n<li>Seja [tex]a[\/tex] a medida do lado do quadrado.<br \/>\nComo [tex] tg\\, \\theta=\\dfrac{\\text{cateto oposto a } \\theta}{\\text{cateto adjacente a } \\theta} \\, [\/tex], nos tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos [tex]BPA[\/tex] e [tex]AQD[\/tex], obtemos [tex] \\, \\boxed{tg(2x) = \\dfrac{a}{8}} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\boxed{tg(x)= \\dfrac{9}{a}} \\, [\/tex], respectivamente.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Agora, utilizando a rela\u00e7\u00e3o da tangente do arco duplo, segue que:<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\quad tg(2x)=\\dfrac{2\\, tg(x)}{1-tg^2(x)}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\quad \\dfrac{a}{8}=\\dfrac{2\\cdot\\frac{9}{a}}{1-(\\frac{9}{a})^2}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\quad \\dfrac{a}{8}=\\dfrac{\\frac{18}{a}}{1-\\frac{81}{a^2}}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\quad \\dfrac{a}{8}\\cdot \\left(1-\\dfrac{81}{a^2}\\right)=\\dfrac{18}{a}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\quad \\dfrac{a}{8}-\\dfrac{81}{8a}=\\dfrac{18}{a}[\/tex] (multiplicando por [tex]8a[\/tex])<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\quad a^2-81=144[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\quad a^2=225[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\quad a=15[\/tex] (escolhemos a raiz positiva porque [tex]a[\/tex] \u00e9 uma medida).<br \/>\nPortanto, [tex]PC = 15-8=7\\,cm \\, [\/tex] e [tex] \\, CQ = 15-9=6\\,cm[\/tex].<br \/>\nFinalmente, aplicando o teorema de Pit\u00e1goras no tri\u00e2ngulo [tex]PCQ[\/tex], temos [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$PQ = \\sqrt{7^2+6^2}=\\sqrt{85}\\,cm$} \\, [\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Na figura abaixo, [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 um quadrado. Sabendo que [tex]BP = 8\\,cm[\/tex] e que [tex]QD = 9\\,cm[\/tex], calcule a medida de [tex]\\overline{PQ}[\/tex]. Lembretes 1) Para valores reais de [tex]x[\/tex] tais que [tex]\\begin{cases} x\\ne \\frac{\\pi}{2}+k\\pi,\\forall k \\in \\mathbb{Z}\\\\ x\\ne \\frac{\\pi}{4}+k\\frac{\\pi}{2},\\forall k \\in \\mathbb{Z} \\end{cases}[\/tex] \u00e9 v\u00e1lida &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-medidas-num-quadrado\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":179,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-94206","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94206","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/179"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=94206"}],"version-history":[{"count":11,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94206\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":187135,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94206\/revisions\/187135"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=94206"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}