{"id":94192,"date":"2018-01-16T01:31:44","date_gmt":"2018-01-16T03:31:44","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=94192"},"modified":"2023-04-15T04:47:16","modified_gmt":"2023-04-15T07:47:16","slug":"problema-vai-e-volta","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-vai-e-volta\/","title":{"rendered":".Problema: Vai e volta"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nQuantos n\u00fameros pal\u00edndromos m\u00faltiplos de [tex]6[\/tex] est\u00e3o compreendidos entre [tex]2009 \\, [\/tex] e [tex] \\, 9002[\/tex]?<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:85%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> Ajuda<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>Pal\u00edndromos <\/strong> s\u00e3o palavras, frases ou n\u00fameros que podem ser lidos de frente para tr\u00e1s ou de tr\u00e1s para frente, sem que haja mudan\u00e7a da sua significa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]12321 \\longleftrightarrow 12321[\/tex]<\/li>\n<li> <strong>OSSO <\/strong>[tex]\\longleftrightarrow[\/tex] <strong>OSSO <\/strong><\/li>\n<li> <strong>LUZ AZUL<\/strong> [tex]\\longleftrightarrow[\/tex] <strong>LUZ AZUL<\/strong><\/li>\n<li> <strong>EVA ASSE ESSA AVE<\/strong> [tex]\\longleftrightarrow[\/tex] <strong>EVA ASSE ESSA AVE<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p>Na leitura de tr\u00e1s para frente de um pal\u00edndromo  n\u00e3o s\u00e3o levados em considera\u00e7\u00e3o sinais de pontua\u00e7\u00e3o, sinais de acentua\u00e7\u00e3o, a divis\u00e3o sil\u00e1bica e o espa\u00e7amento entre as palavras.<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nVamos procurar pal\u00edndromos que s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]6[\/tex] ou, de outra forma, pal\u00edndromos que s\u00e3o divis\u00edveis por [tex]6[\/tex]. Assim, esses pal\u00edndromos s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]2[\/tex] e de [tex]3[\/tex].<\/p>\n<ul>\n<li>Por serem m\u00faltiplos de dois, esses pal\u00edndromos s\u00e3o n\u00fameros pares e, portanto, o \u00faltimo d\u00edgito de cada um \u00e9 par. Como buscamos pal\u00edndromos, o primeiro d\u00edgito de tais n\u00fameros tamb\u00e9m \u00e9 par. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Pelo at\u00e9 aqui exposto, os n\u00fameros em quest\u00e3o t\u00eam as seguintes caracter\u00edsticas: <strong>s\u00e3o pal\u00edndromos; t\u00eam quatro algarismos; s\u00e3o pares<\/strong>. Assim, os n\u00fameros em quest\u00e3o t\u00eam uma das seguintes formas:<br \/>\n [tex]\\qquad \\qquad \\boxed{2aa2}\\qquad ; \\qquad \\boxed{4aa4}\\qquad ; \\qquad \\boxed{6aa6}\\qquad ; \\qquad \\boxed{8aa8}.[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li>Sabemos tamb\u00e9m que os n\u00fameros em quest\u00e3o s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]3[\/tex], logo a soma de seus algarismos \u00e9 um m\u00faltiplo de tr\u00eas. <\/li>\n<\/ul>\n<p>A partir dessa \u00faltima informa\u00e7\u00e3o, vamos analisar cada uma das quatro formas que os pal\u00edndromos que buscamos podem ter.<\/p>\n<ul>\n<ul>\n<li> Sabemos que [tex]2aa2[\/tex] deve ser um m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex], ent\u00e3o [tex]2+a+a+2=4+2a=\\boxed{2(2+a)}[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex] e essa condi\u00e7\u00e3o \u00e9 cumprida apenas se [tex]a \\in \\{1 \\, , \\, 4 \\, , \\, 7\\}[\/tex]. Isso significa que h\u00e1 tr\u00eas pal\u00edndromos com essa forma. <\/li>\n<li> Sabemos que [tex]4aa4[\/tex] deve ser um m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex], ent\u00e3o [tex]4+a+a+4=8+2a=\\boxed{2(4+a)}[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex] e essa condi\u00e7\u00e3o \u00e9 cumprida apenas se [tex]a \\in \\{2 \\, , \\, 5 \\, , \\, 8\\}[\/tex]. Isso significa que h\u00e1 tr\u00eas pal\u00edndromos com essa forma. <\/li>\n<li> Sabemos que [tex]6aa6[\/tex] deve ser um m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex], ent\u00e3o [tex]6+a+a+6=12+2a=\\boxed{2(6+a)}[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex] e essa condi\u00e7\u00e3o \u00e9 cumprida apenas se [tex]a \\in \\{0 \\, , \\, 3 \\, , \\, 6, \\, 9\\}[\/tex]. Isso significa que h\u00e1 quatro pal\u00edndromos com essa forma. <\/li>\n<li> Sabemos que [tex]8aa8[\/tex] deve ser um m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex], ent\u00e3o [tex]8+a+a+8=16+2a=\\boxed{2(8+a)}[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex] e essa condi\u00e7\u00e3o \u00e9 cumprida apenas se [tex]a \\in \\{1 \\, , \\, 4 \\, , \\, 7\\}[\/tex]. Isso significa que h\u00e1 tr\u00eas pal\u00edndromos com essa forma. <\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<p>Portanto, no total, s\u00e3o [tex]3+3+4+3=\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$13$}[\/tex] pal\u00edndromos m\u00faltiplos de [tex]6[\/tex] que est\u00e3o entre [tex]2009 \\, [\/tex] e [tex] \\, 9002.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"g3\">\nParticipou da discuss\u00e3o o Clube <strong>Deltonautas<\/strong>.<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto;margin-right:auto; width:418px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\" wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"explicador_p\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"90\" height=\"108\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala bg33 cb33\" style=\"width:300px; line-height: 20px; font-size:small\" > Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra dos crit\u00e9rios de divisibilidade que foram utilizados, clique <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/um-pouco-sobre-divisibilidade-criterios-de-divisibilidade-sem-justificativas\/\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a>.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.) Quantos n\u00fameros pal\u00edndromos m\u00faltiplos de [tex]6[\/tex] est\u00e3o compreendidos entre [tex]2009 \\, [\/tex] e [tex] \\, 9002[\/tex]? Ajuda Pal\u00edndromos s\u00e3o palavras, frases ou n\u00fameros que podem ser lidos de frente para tr\u00e1s ou de tr\u00e1s para frente, sem que haja mudan\u00e7a da sua significa\u00e7\u00e3o: [tex]12321 \\longleftrightarrow &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-vai-e-volta\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-94192","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94192","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=94192"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94192\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":187137,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94192\/revisions\/187137"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=94192"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}