{"id":94189,"date":"2018-01-16T01:27:06","date_gmt":"2018-01-16T03:27:06","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=94189"},"modified":"2023-04-15T04:47:53","modified_gmt":"2023-04-15T07:47:53","slug":"probleminha-uma-soma-de-angulos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-uma-soma-de-angulos\/","title":{"rendered":".Probleminha: Uma soma de \u00e2ngulos"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nEm um tri\u00e2ngulo s\u00e3o tra\u00e7adas duas cevianas[tex]^*[\/tex]<\/span>, conforme mostrado na figura.
\nCalcule o valor de [tex]x+y[\/tex].<\/p>\n

\"fig023\"<\/p>\n

(*)<\/span> Uma ceviana <\/em><\/strong>de um tri\u00e2ngulo \u00e9 um segmento de reta com uma extremidade em um v\u00e9rtice desse tri\u00e2ngulo e a outra em um ponto qualquer da reta suporte do lado oposto a esse v\u00e9rtice.<\/span>\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Lembrete <\/p>\n

\n

✐ <\/span> A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^{\\circ}[\/tex]. (Se precisar, visite esta p\u00e1gina<\/a><\/strong>.)<\/span><\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\n\"\"<\/p>\n

\n

A soma dos \u00e2ngulos internos do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 [tex]180^{\\circ}[\/tex], assim:
\n [tex]\\qquad 3b+48^{\\circ}+3a=180^{\\circ}[\/tex]
\n [tex]\\qquad 3(a+b)=180^{\\circ}-48^{\\circ}[\/tex]
\n [tex]\\qquad 3(a+b)=132^{\\circ}[\/tex]
\n [tex]\\qquad \\boxed{a+b=44^{\\circ}} \\, . \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nComo as somas dos \u00e2ngulos internos dos tri\u00e2ngulos [tex]ADC[\/tex] e [tex] AEC[\/tex] tamb\u00e9m s\u00e3o iguais a [tex]180^{\\circ}[\/tex], temos que:
\n [tex]\\qquad 3b+x+2a=180^{\\circ}[\/tex]
\n [tex]\\qquad 2b+y+3a=180^{\\circ}[\/tex]
\ne, com isso, somando essas duas equa\u00e7\u00f5es, segue que:
\n [tex]\\qquad 5b+x+y+5a=360^{\\circ}[\/tex]
\n [tex]\\qquad x+y+5(a+b)=360^{\\circ}[\/tex]
\n [tex]\\qquad x+y+5\\times 44^{\\circ}\\stackrel{\\textcolor{#800000}{(i)}}{=}360^{\\circ}[\/tex]
\n [tex]\\qquad x+y+220^{\\circ}=360^{\\circ}[\/tex]
\n [tex]\\qquad x+y=360^{\\circ}-220^{\\circ}[\/tex]
\n [tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x+y=140^{\\circ}$} \\, .[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\nSabemos que a soma dos \u00e2ngulos internos de qualquer tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180\u00b0[\/tex].
\nDo tri\u00e2ngulo grande vem [tex]3a+3b+48=180\u00b0[\/tex]; da\u00ed [tex]3a+3b=132\u00b0[\/tex], ou seja, [tex]a+b=44\u00b0[\/tex].
\nNo tri\u00e2ngulo de \u00e2ngulos [tex]2a[\/tex] e [tex]2b[\/tex], calculamos o terceiro \u00e2ngulo ([tex]z[\/tex]) usando a mesma rela\u00e7\u00e3o.
\n[tex]\\qquad 2a+2b+z=180\u00b0[\/tex]
\n[tex]\\qquad 2(a+b)+z=180\u00b0[\/tex]
\nSabemos que [tex]a+b=44\u00b0[\/tex], ent\u00e3o:
\n[tex]\\qquad 2\\times44+z=180\u00b0[\/tex]
\n[tex]\\qquad z=92\u00b0[\/tex].
\nObservamos que o quadril\u00e1tero da figura tem \u00e2ngulos de medidas [tex]92\u00b0[\/tex] (opv), [tex]180\u00b0-x[\/tex] (suplementar), [tex]180\u00b0-y[\/tex] (suplementar) e [tex]48\u00b0[\/tex].
\nComo sabemos que a soma dos \u00e2ngulos internos de um quadril\u00e1tero \u00e9 [tex]360\u00b0[\/tex], vem:
\n[tex]\\qquad 92\u00b0+(180\u00b0-x)+(180\u00b0-y)+48\u00b0=360\u00b0[\/tex]
\n[tex]\\qquad x+y=140\u00b0[\/tex].<\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo Clube Deltonautas<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\nParticipou da discuss\u00e3o o Clube Deltonautas<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Em um tri\u00e2ngulo s\u00e3o tra\u00e7adas duas cevianas[tex]^*[\/tex], conforme mostrado na figura. Calcule o valor de [tex]x+y[\/tex]. (*) Uma ceviana de um tri\u00e2ngulo \u00e9 um segmento de reta com uma extremidade em um v\u00e9rtice desse tri\u00e2ngulo e a outra em um ponto qualquer da reta suporte … <\/p>\n

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