{"id":94182,"date":"2018-01-16T01:05:40","date_gmt":"2018-01-16T03:05:40","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=94182"},"modified":"2023-04-15T04:48:22","modified_gmt":"2023-04-15T07:48:22","slug":"desafiotres-algarismos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafiotres-algarismos\/","title":{"rendered":".Desafio: S\u00f3 tr\u00eas algarismos"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n

A soma dos n\u00fameros naturais de tr\u00eas algarismos distintos [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=abc$}[\/tex] e [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m=bca$}[\/tex] \u00e9 [tex]10[\/tex] vezes o produto dos algarismos [tex]a,b[\/tex] e [tex]c[\/tex].
\nDetermine o n\u00famero [tex]n.[\/tex]
\n(Observa\u00e7\u00e3o:<\/strong> As nota\u00e7\u00f5es [tex]n=abc[\/tex] e [tex]m=bca[\/tex] n\u00e3o indicam produtos e sim a representa\u00e7\u00e3o de [tex]n[\/tex] e [tex]m[\/tex] no sistema decimal.)<\/span>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nOs n\u00fameros [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=abc$}[\/tex] e [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m=bca$}[\/tex] podem ser escritos na chamada forma polinomial decimal da seguinte maneira:
\n[tex]\\qquad n=100\\cdot a+10\\cdot b+c[\/tex]
\n[tex]\\qquad m=100\\cdot b+10\\cdot c+a.[\/tex]
\nAssim, a hip\u00f3tese de que a soma de [tex]n=abc[\/tex] e [tex]m=bca[\/tex] \u00e9 [tex]10[\/tex] vezes o produto dos algarismos [tex]a,b[\/tex] e [tex]c[\/tex] pode ser indicada algebricamente como:
\n[tex]\\qquad (100\\cdot a+10\\cdot b+c)+(100\\cdot b+10\\cdot c+a)=10\\cdot a\\cdot b\\cdot c.[\/tex]
\nPara simplificar a nota\u00e7\u00e3o, daqui para frente indicaremos as multiplica\u00e7\u00f5es pela justaposi\u00e7\u00e3o de seus fatores; portanto, segue que:
\n[tex]\\qquad (100a+10b+c)+(100b+10c+a)=10abc[\/tex]
\n[tex]\\qquad 100a+10b+c+100b+10c+a=10abc[\/tex]
\n[tex]\\qquad (100a+a)+(10b+100b)+(c+10c)=10abc[\/tex]
\n[tex]\\qquad 101a+110b+11c=10abc. \\quad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nObserve, agora, os algarismos das unidades da igualdade a soma de [tex]n[\/tex] e [tex]m[\/tex] \u00e9 igual [tex]10[\/tex] vezes o produto dos algarismos [tex]a,b[\/tex] e [tex]c:[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad \\quad \\quad \\begin{array}{c c c r}
\na&b&c&+\\\\
\nb&c&a&\\\\
\n\\hline
\n& & 0&
\n\\end{array}
\n[\/tex]
\ne perceba que [tex]a+c[\/tex] termina em [tex]0[\/tex]. Sabemos que [tex]a[\/tex] e [tex]c[\/tex] s\u00e3o algarismos distintos, logo [tex]0\\lt a+c \\lt 18[\/tex], donde conclu\u00edmos que [tex]\\boxed{a+c=10}.[\/tex]
\nComo temos a informa\u00e7\u00e3o de que [tex]\\textcolor{#800000}{\\boxed{a+c=10}}[\/tex], vamos trabalhar um pouco mais com a igualdade [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]:
\n[tex]\\qquad 101a+110b+11c=10abc[\/tex]
\n[tex]\\qquad (90+11)a+110b+11c=10abc[\/tex]
\n[tex]\\qquad 90a+110b+(11a+11c)=10abc[\/tex]
\n[tex]\\qquad 90a+110b+11 \\textcolor{#800000}{(a+c)}<\/span>=10abc[\/tex]
\n[tex]\\qquad 90a+110b+11\\times \\textcolor{#800000}{10}=10abc[\/tex]
\n[tex]\\qquad 90a+110b+110=10abc[\/tex]
\n[tex]\\qquad 9a+11b+11=abc[\/tex]
\nParece que chegamos ao fim da linha, n\u00e3o \u00e9?
\nMas perceba que, da \u00faltima igualdade, temos que [tex]9a+11=b(ac-11)[\/tex], portanto:<\/p>\n
    \n
  • podemos concluir que [tex]9a+11[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]ac-11[\/tex], j\u00e1 que [tex]b[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural;<\/li>\n
  • como [tex]ac-11 \\gt 0[\/tex], temos que [tex]ac \\gt 11[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

    Como [tex]a[\/tex] e [tex]c[\/tex] s\u00e3o algarismos distintos tais que [tex]\\textcolor{#800000}{\\boxed{a+c=10}}[\/tex] \u00e9 s\u00f3 testar as possibilidades…
    \nVamos l\u00e1?<\/p>\n

      \n
    • Se [tex]\\boxed{a=1} , \\boxed{c=9}[\/tex], [tex]ac=9[\/tex] n\u00e3o satisfaz a condi\u00e7\u00e3o [tex]ac \\gt 11[\/tex].<\/li>\n
    • Se [tex]\\boxed{a=2} [\/tex] e [tex] \\boxed{c=8}[\/tex], [tex]9a+11=18+11=29[\/tex] e [tex]ac-11=16-11=5[\/tex] n\u00e3o satisfazem a condi\u00e7\u00e3o de que [tex]9a+11[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]ac-11[\/tex].<\/li>\n
    • Se [tex]\\boxed{a=3} [\/tex] e [tex] \\boxed{c=7}[\/tex], [tex]9a+11=27+11=38[\/tex] e [tex]ac-11=21-11=10[\/tex] n\u00e3o satisfazem a condi\u00e7\u00e3o de que [tex]9a+11[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]ac-11[\/tex].<\/li>\n
    • Se [tex]\\boxed{a=4} [\/tex] e [tex] \\boxed{c=6}[\/tex], [tex]9a+11=36+11=47[\/tex] e [tex]ac-11=24-11=13[\/tex] n\u00e3o satisfazem a condi\u00e7\u00e3o de que [tex]9a+11[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]ac-11[\/tex].<\/li>\n
    • Se [tex]\\boxed{a=5} [\/tex] e [tex] \\boxed{c=5}[\/tex], n\u00e3o teremos algarismos distintos.<\/li>\n
    • Se [tex]\\boxed{a=6} [\/tex] e [tex] \\boxed{c=4}[\/tex], [tex]9a+11=54+11=65[\/tex] e [tex]ac-11=24-11=13[\/tex] satisfazem a condi\u00e7\u00e3o de que [tex]9a+11[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]ac-11[\/tex].<\/li>\n
    • Se [tex]\\boxed{a=7} [\/tex] e [tex] \\boxed{c=3}[\/tex], [tex]9a+11=63+11=74[\/tex] e [tex]ac-11=21-11=10[\/tex] n\u00e3o satisfazem a condi\u00e7\u00e3o de que [tex]9a+11[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]ac-11[\/tex].<\/li>\n
    • Se [tex]\\boxed{a=8} [\/tex] e [tex] \\boxed{c=2}[\/tex], [tex]9a+11=72+11=83[\/tex] e [tex]ac-11=16-11=5[\/tex] n\u00e3o satisfazem a condi\u00e7\u00e3o de que [tex]9a+11[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]ac-11[\/tex].<\/li>\n
    • Se [tex]\\boxed{a=9} [\/tex] e [tex] \\boxed{c=1}[\/tex], [tex]ac=9[\/tex] n\u00e3o satisfaz a condi\u00e7\u00e3o [tex]ac \\gt 11[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

      Pelos nossos c\u00e1lculos, observamos que a \u00fanica possibilidade de valores para [tex]a[\/tex] e [tex]c[\/tex] \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=6$} [\/tex] e [tex] \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$c=4$}[\/tex] e, da igualdade [tex]9a+11=b(ac-11)[\/tex], obtemos [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$b=5$} [\/tex].
      \nAssim, [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=654$}.[\/tex]<\/p>\n

      \n

      Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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