{"id":94157,"date":"2018-01-15T23:59:53","date_gmt":"2018-01-16T01:59:53","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=94157"},"modified":"2023-04-15T04:51:17","modified_gmt":"2023-04-15T07:51:17","slug":"problema-o-mapa","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-o-mapa\/","title":{"rendered":".Problema: O Mapa"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nO mapa abaixo mostra uma estrada retil\u00ednea que passa sucessivamente pelas cidades [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex].<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/06\/MAPA-1.png\"  alt=\"\" width=\"311\" height=\"186\" class=\"aligncenter size-full wp-image-78209\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/06\/MAPA-1.png 311w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/06\/MAPA-1-300x179.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 311px) 100vw, 311px\" \/><br \/>\nOutra cidade, [tex]D[\/tex], distante [tex]120 \\,  km [\/tex] de [tex]A[\/tex], localiza-se de tal forma que o [tex]\\angle{DAB}=36^\\circ[\/tex].<br \/>\nUm viajante fez o trajeto de [tex]A[\/tex] para [tex]B[\/tex], de [tex]B[\/tex] para [tex]D[\/tex] e de [tex]D[\/tex] para [tex]C[\/tex], onde [tex]AB=BD=DC[\/tex].<br \/>\nSe o viajante tivesse ido diretamente de [tex]A[\/tex] at\u00e9 [tex]C[\/tex], qual a dist\u00e2ncia que ele teria percorrido?<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nObserve os \u00e2ngulos mostrados na figura abaixo.<\/p>\n<ul>\n<li>Como [tex]AB=BD[\/tex], o tri\u00e2ngulo [tex]ABD[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles e como [tex]\\angle{DAB}=36^\\circ[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\angle{BDA}=36^\\circ[\/tex].<\/li>\n<li>Como a soma dos \u00e2ngulos internos do tri\u00e2ngulo [tex]ABD[\/tex] \u00e9 [tex]180^{\\circ}[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\angle{ABD}=180^\\circ -36^\\circ -36^\\circ=108^\\circ[\/tex].<\/li>\n<li>Como os \u00e2ngulos [tex]A\\hat{B}D[\/tex] e [tex]D\\hat{B}C[\/tex] s\u00e3o suplementares, ent\u00e3o [tex]\\angle{DBC}=180^\\circ-108^\\circ=72^\\circ[\/tex].<\/li>\n<li>Como [tex]BD=DC[\/tex], o tri\u00e2ngulo [tex]BCD[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles; assim,  [tex]\\angle{DCB}=\\angle{DBC}=72^\\circ[\/tex].<\/li>\n<li>A soma dos \u00e2ngulos internos do tri\u00e2ngulo [tex]BCD[\/tex] \u00e9 [tex]180^{\\circ}[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\angle{CDB}=180^\\circ -72^\\circ -72^\\circ=36^\\circ[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/Rob_17.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" width=\"323\" height=\"193\" class=\"aligncenter size-full wp-image-93666\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/Rob_17.png 323w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/Rob_17-300x179.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 323px) 100vw, 323px\" \/><\/p>\n<p>Veja que o tri\u00e2ngulo [tex]ACD[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles, com os \u00e2ngulos da base [tex]\\overline{DC}[\/tex] medindo [tex] 72^\\circ[\/tex]; portanto, se o viajante tivesse ido diretamente de [tex]A[\/tex] at\u00e9 [tex]C[\/tex], teria percorrido uma dist\u00e2ncia [tex]\\boxed{AC=AD=120 \\, km} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) O mapa abaixo mostra uma estrada retil\u00ednea que passa sucessivamente pelas cidades [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex]. Outra cidade, [tex]D[\/tex], distante [tex]120 \\, km [\/tex] de [tex]A[\/tex], localiza-se de tal forma que o [tex]\\angle{DAB}=36^\\circ[\/tex]. 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