{"id":94144,"date":"2018-01-15T23:27:27","date_gmt":"2018-01-16T01:27:27","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=94144"},"modified":"2023-07-27T02:45:31","modified_gmt":"2023-07-27T05:45:31","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-resto-da-divisao","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-resto-da-divisao\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Resto da divis\u00e3o"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

\n

Problema
\n (A partir do 6\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\nPodemos usar o algoritmo da divis\u00e3o e dividir [tex]870[\/tex] por [tex]40[\/tex] da seguinte maneira:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n

Qual \u00e9 o quociente e o resto dessa divis\u00e3o?
\nJustifique o resultado.\n<\/p><\/div>\n

\n

\n\"explicador_p\" <\/p>\n

Ajuda<\/p>\n

Sejam [tex]n[\/tex] e [tex]a[\/tex] n\u00fameros naturais, com [tex]a\\ne 0.[\/tex]
\nO que acontece com o quociente e o resto da divis\u00e3o de [tex]n[\/tex] por [tex]a[\/tex]?<\/strong> <\/p>\n

\n

Observemos…<\/p>\n\n\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r}
\nn \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\, a \\, \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{r}
\nr
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\, \\, \\, q
\n\\end{array}\\qquad \\qquad[\/tex]<\/td>\n		\nAo dividirmos [tex]n[\/tex] por [tex]a[\/tex] encontraremos um quociente [tex]q [\/tex] e um resto [tex]r [\/tex], naturais e \u00fanicos, tais que:
\n [tex] \\, \\, \\, (1) \\, \\, 0 \\le r \\lt a \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, [\/tex] [tex](2) \\, \\, n=q \\times a+r[\/tex].<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nA princ\u00edpio, algu\u00e9m poderia responder: que pergunta boba; \u00e9 s\u00f3 olhar para o diagrama da chave que foi apresentado e concluir que o quociente \u00e9 [tex]21[\/tex] e o resto \u00e9 [tex]3[\/tex].
\nMas observe que a informa\u00e7\u00e3o [tex](2) [\/tex] da ajuda nos d\u00e1 uma rela\u00e7\u00e3o importante entre o dividendo, o divisor, o quociente e o resto de uma divis\u00e3o euclidiana<\/strong> e com esses valores de quociente e de resto a igualdade [tex](2) [\/tex] n\u00e3o \u00e9 satisfeita:
\n[tex]\\qquad \\boxed{21 \\times 40+3=843\\ne 870} \\, .[\/tex]
\nPerceba que no diagrama apresentado, foi feita a divis\u00e3o de [tex]87[\/tex] por [tex]4[\/tex], como uma maneira simplificada de efetuarmos a divis\u00e3o de [tex]870[\/tex] por [tex]40[\/tex]:<\/p>\n\n\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r}
\n87 \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\, 4 \\, \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{r}
\n \\, \\, 3
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\, \\, \\, 21
\n\\end{array}\\qquad \\qquad[\/tex]<\/td>\n		\n

Os n\u00fameros [tex]q=21 [\/tex] e [tex]r=3 [\/tex] s\u00e3o, respectivamente, o quociente e o resto da divis\u00e3o de [tex]87[\/tex] por [tex]4[\/tex], assim:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\qquad (3) \\, \\, 0 \\le 3 \\lt 4 \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\,\\, \\, \\, [\/tex] [tex](4) \\, \\, 87=21 \\times 4+3[\/tex].<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Ao multiplicarmos a igualdade [tex](4)[\/tex] por [tex]10[\/tex], temos que:
\n[tex]\\qquad 87\\times 10=\\left(21 \\times 4+3\\right)\\times 10[\/tex]
\n[tex]\\qquad 870=21 \\times 40+30 \\, .[\/tex]
\nAssim, como
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#800000}{(*)} \\, \\, 0 \\le 30 \\lt 40 [\/tex],
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#800000}{(**)} \\, \\, 870=21 \\times 40+30[\/tex],
\na unicidade do resto e do quociente da divis\u00e3o de [tex]870[\/tex] por [tex]40[\/tex] nos garante que:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r}
\n870 \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\, 40 \\, \\, \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{r}
\n \\, \\, 30
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\, \\, \\, 21
\n\\end{array}[\/tex]
\nou seja, o resto da divis\u00e3o de [tex]870[\/tex] por [tex]40[\/tex] \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$30$}[\/tex] e, o quociente, [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$21$} \\, .[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-94144","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94144","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=94144"}],"version-history":[{"count":17,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94144\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":94459,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/94144\/revisions\/94459"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=94144"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}