{"id":94066,"date":"2018-01-15T21:29:06","date_gmt":"2018-01-15T23:29:06","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=94066"},"modified":"2023-05-28T00:25:47","modified_gmt":"2023-05-28T03:25:47","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-as-moedas-da-nicole","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-as-moedas-da-nicole\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: As moedas da Nicole"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=192135\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#8D918D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Nicole guardou moedas de 5 e de 10 centavos em um cofrinho.<br \/>\nQuando conseguiu juntar cem moedas, ela abriu o cofrinho e observou que, se trocasse cada moeda de cinco por uma moeda de dez centavos e cada moeda de  dez por uma moeda de cinco centavos, ela lucraria  70 centavos.<br \/>\nQual a quantia em reais das cem moedas que havia no cofrinho?<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/08\/prob97.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"147\" height=\"203\" class=\"aligncenter size-full wp-image-83072\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\"style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Vamos supor que as quantias de moedas de [tex]5[\/tex] e de [tex]10[\/tex] centavos que havia no cofrinho sejam [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex], respectivamente. Assim:<br \/>\n [tex]\\qquad x+y=100.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<br \/>\nCom [tex]100[\/tex] moedas guardadas, Nicole percebeu que se trocasse cada moeda de cinco por uma moeda de dez centavos e cada moeda de dez por uma moeda de cinco centavos, ela lucraria  [tex]70[\/tex]  centavos; assim, se [tex]T[\/tex] \u00e9 o total em centavos das cem  moedas do cofrinho, ent\u00e3o:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]5x+10y=T \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]5y+10x=T+70. \\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dessa forma, substituindo o valor de [tex]T[\/tex] da equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] na equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex], segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad 5y+10x=\\textcolor{#FF1493}{T}+70 [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 5y+10x=\\textcolor{#FF1493}{(5x+10y)}+70 [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 10x-5x=10y-5y+70 [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 5x=5y+70 [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{x=y+14}. \\qquad \\textcolor{#800000}{(iv)} [\/tex]<br \/>\nAgora, substituindo o valor de [tex]x[\/tex] da equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex] na equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\textcolor{#FF1493}{x}+y=100[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\textcolor{#FF1493}{(y+14)}+y=100[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 2y=100-14[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 2y=86[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad y=43[\/tex] moedas.<br \/>\nSubstituindo [tex]y=43[\/tex] em [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex], temos que [tex]x=y+14=43+14=57[\/tex] moedas.<br \/>\nComo havia no cofrinho  [tex]57[\/tex] moedas de cinco centavos e  [tex]43[\/tex] moedas de dez centavos, em reais, Nicole conseguiu juntar:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad 57 \\times 0,05+43 \\times 0,10=2,85+4,30=7,15.[\/tex]<br \/>\nPortanto, Nicole tinha no cofrinho a quantia de [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R\\$ \\, 7,15$} \\, .[\/tex] <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Vamos supor que as quantias de moedas de [tex]5[\/tex] e de [tex]10[\/tex] centavos que havia no cofrinho sejam [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex], respectivamente. Assim:<br \/>\n [tex]\\qquad x+y=100.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<br \/>\nNa troca das moedas, <\/p>\n<ul>\n<li>Nicole ganharia [tex]5[\/tex] centavos em cada moeda de [tex]5[\/tex] trocada por uma de [tex]10 \\, [\/tex], ou seja, ganharia [tex]5x \\, [\/tex];<\/li>\n<li>Nicole  perderia [tex]5[\/tex] centavos em cada moeda de [tex]10[\/tex] trocada por [tex]5[\/tex], ou seja, perderia     [tex]5y.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Como o lucro com as trocas seria de [tex]70[\/tex] centavos, ent\u00e3o [tex]5x-5y=70[\/tex] ou, ainda, [tex]\\boxed{x=y+14} \\, . \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<br \/>\nDessa forma, substituindo o valor de [tex]x[\/tex] da equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] na equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\textcolor{blue}{x}+y=100[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\textcolor{blue}{(y+14)}+y=100[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 2y=100-14[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 2y=86[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad y=43[\/tex] moedas.<br \/>\nSubstituindo [tex]y=43[\/tex] em [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], temos que [tex]x=y+14=43+14=57[\/tex] moedas.<br \/>\nComo havia no cofrinho  [tex]57[\/tex] moedas de cinco centavos e  [tex]43[\/tex] moedas de dez centavos, em reais, Nicole conseguiu juntar:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad 57 \\times 0,05+43 \\times 0,10=2,85+4,30=7,15.[\/tex]<br \/>\nPortanto, Nicole tinha no cofrinho a quantia de [tex]\\fcolorbox{black}{#E6E6FA}{$R\\$ \\, 7,15$} \\, .[\/tex] <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/As-moedas-da-Nicole.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ As moedas da Nicole.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. 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