{"id":93419,"date":"2018-01-06T18:43:22","date_gmt":"2018-01-06T20:43:22","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=93419"},"modified":"2024-11-29T20:45:01","modified_gmt":"2024-11-29T23:45:01","slug":"sala-para-leitura_025-familia-de-angulos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-para-leitura_025-familia-de-angulos\/","title":{"rendered":".Sala para leitura_025: Fam\u00edlia de \u00e2ngulos"},"content":{"rendered":"\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"cb32 g1\" style=\"line-height:35px;margin-bottom:15px\">\n<p class=\"ti1 c3\"  style=\"line-height:40px;margin:1px\"\">Fam\u00edlia de \u00e2ngulos<\/p>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#800000; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:40px;\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span> Dadas duas retas distintas [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex], paralelas ou n\u00e3o, e uma reta [tex]t[\/tex] concorrente com [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex], que denominamos de transversal, automaticamente fica definida uma fam\u00edlia de oito \u00e2ngulos, conforme ilustra a figura abaixo.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/10\/prob35_6.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"593\" height=\"229\" class=\"aligncenter size-full wp-image-86762\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/10\/prob35_6.png 593w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/10\/prob35_6-300x116.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 593px) 100vw, 593px\" \/><\/p>\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span> Pares desses \u00e2ngulos costumam receber nomes particulares, de acordo com a posi\u00e7\u00e3o de um deles em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 do outro:<\/p>\n<ul>\n<li> alternos internos: [tex]\\boxed{\\,\\hat{d} \\, \\text{ e } \\, \\hat{f}\\,} \\, [\/tex] ; [tex] \\, \\boxed{\\,\\hat{c} \\, \\text{ e } \\, \\hat{e}\\,} \\, .[\/tex]<\/li>\n<li> alternos externos: [tex]\\boxed{\\,\\hat{a} \\, \\text{ e } \\, \\hat{g}\\,} \\, [\/tex] ; [tex] \\, \\boxed{\\,\\hat{b} \\, \\text{ e } \\, \\hat{h}\\,} \\, .[\/tex]<\/li>\n<li> correspondentes: [tex]\\boxed{\\,\\hat{a} \\, \\text{ e } \\, \\hat{e}\\,} \\, [\/tex] ; [tex] \\, \\boxed{\\,\\hat{b} \\, \\text{ e } \\, \\hat{f}\\,} \\, [\/tex] ; [tex] \\, \\boxed{\\,\\hat{d} \\, \\text{ e } \\, \\hat{h}\\,} \\, [\/tex]  ; [tex] \\, \\boxed{\\,\\hat{c} \\, \\text{ e } \\, \\hat{g}\\,} \\, .[\/tex]<\/li>\n<li> opostos pelo v\u00e9rtice: [tex]\\boxed{\\,\\hat{a} \\, \\text{ e } \\, \\hat{c}\\,} \\, [\/tex] ; [tex] \\, \\boxed{\\,\\hat{b} \\, \\text{ e } \\, \\hat{d}\\,} \\, [\/tex] ; [tex] \\, \\boxed{\\,\\hat{e} \\, \\text{ e } \\, \\hat{g}\\,} \\, [\/tex]  ; [tex] \\, \\boxed{\\,\\hat{f} \\, \\text{ e } \\, \\hat{h}\\,} \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>  Quando [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex] n\u00e3o s\u00e3o retas paralelas, em geral, s\u00f3 conseguimos garantir a congru\u00eancia entre os dois \u00e2ngulos que comp\u00f5em um par de \u00e2ngulos opostos pelo v\u00e9rtice. (Utilizando a nossa nota\u00e7\u00e3o, [tex]\\hat{a} \\, \\equiv \\hat{c} \\, [\/tex] ; [tex]\\hat{b} \\, \\equiv \\hat{d} \\, [\/tex] ; [tex]\\hat{e} \\, \\equiv \\hat{g} \\, [\/tex]  ; [tex]\\hat{f} \\, \\equiv \\hat{h} \\, [\/tex].) No entanto, quando [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex] s\u00e3o retas paralelas, temos apenas duas medidas para os oito \u00e2ngulos definidos por cada reta transversal, e essas duas medidas somam [tex]180^\\circ[\/tex].<\/p>\n<p class=\"ti2  c3\" style=\"line-height:20px;margin:1px\">Fant\u00e1stico, n\u00e3o \u00e9?<\/p>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1 cb31\" style=\"line-height:30px; width:90%; margin-left:auto; margin-right:auto; \">\n<p class=\"c3 ti3\"> Um applet para ilustrar. . . <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:30px 40px 30px 40px;\">Com o <em>applet <\/em>abaixo, voc\u00eas podem visualizar essas duas medidas a partir de duas retas paralelas [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex] que est\u00e3o fixas e uma reta transversal [tex]t[\/tex] cuja posi\u00e7\u00e3o pode ser modificada.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span style=\"font-size:12px;\"><strong>Instru\u00e7\u00f5es:<\/strong><br \/>\n<strong>1)<\/strong> Aguarde o aplicativo carregar completamente.<br \/>\n<strong>2)<\/strong> Para modificar a posi\u00e7\u00e3o da reta transversal, clique sobre o ponto [tex]\\textcolor{blue}{M}[\/tex], mantenha o mouse pressionado e movimente verticalmente o ponto.<br \/>\n<strong>3)<\/strong> Lembre-se de que o GeoGebra fornece valores aproximados para as medidas apresentadas.<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align:center; line-height:20px;\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Uma fam\u00edlia de \u00e2ngulos\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/cxr8CkAV\/width\/622\/height\/363\/border\/ffffff\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/false\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"622px\" height=\"363px\" style=\"border: 2px solid #800000;\"> <\/iframe><span style=\"font-14px\"><br \/>\nOBMEP_srg, criado com o <a href=\"http:\/\/www.geogebra.org\/\" target=\"_blank\" >GeoGebra<\/a><\/span><\/p>\n<p style=\"font-family: 'Georgia'; font-size: 14px; color: #800000;text-align:center; line-height:20px;\">Observamos que o <em>applet<\/em> ajuda na visualiza\u00e7\u00e3o do resultado;<br \/>\nmas, matematicamente, n\u00e3o substitui sua demonstra\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span>Com a ajuda do applet \u00e9 poss\u00edvel visualizar uma important\u00edssima propriedade da geometria plana: <\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"gree te2\"  style=\"width:80%;\">\n<strong>Se duas retas paralelas s\u00e3o intersectadas por uma transversal, ent\u00e3o<br \/>\n<span class=\"c3\" style=\"padding-left:20px;font-size:15px;\">&#9658;<\/span> os pares de \u00e2ngulos alternos que essa transversal define s\u00e3o congruentes;<br \/>\n<span class=\"c3\" style=\"padding-left:20px;font-size:15px;\">&#9658;<\/span> os pares de \u00e2ngulos correspondentes que essa transversal define s\u00e3o congruentes;<br \/>\n<span class=\"c3\" style=\"padding-left:20px;font-size:15px;\">&#9658;<\/span> os pares de \u00e2ngulos opostos pelo v\u00e9rtice que essa transversal define s\u00e3o congruentes. <\/strong> <\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/10\/prob35_7.png\" style=\"border:1px solid #800000;\" alt=\"\" width=\"222\" height=\"192\" class=\"alignright size-full wp-image-86798\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:40px\">\n<p><span style=\"padding-left:40px;\"><\/span> Se [tex]r \\, [\/tex] e [tex] \\, s[\/tex] s\u00e3o retas paralelas, ent\u00e3o,  com base na nota\u00e7\u00e3o da figura ao lado, temos que:<\/p>\n<ul>\n<li>\u00e2ngulos correspondentes s\u00e3o congruentes: [tex]\\hat{a} \\, \\equiv \\hat{e} \\, [\/tex] ; [tex]\\hat{b} \\, \\equiv \\hat{f} \\, [\/tex] ; [tex]\\hat{d} \\, \\equiv \\hat{h} \\, [\/tex] ; [tex]\\hat{c} \\, \\equiv \\hat{g} \\, [\/tex] ;<\/li>\n<li>\u00e2ngulos alternos internos s\u00e3o congruentes: [tex]\\hat{d} \\, \\equiv \\hat{f} \\, [\/tex] ; [tex]\\hat{c} \\, \\equiv \\hat{e} \\, [\/tex] ;<\/li>\n<li>\u00e2ngulos alternos externos s\u00e3o congruentes: [tex]\\hat{a} \\, \\equiv \\hat{g} \\, [\/tex] ; [tex]\\hat{b} \\, \\equiv \\hat{h} \\, [\/tex] ;<\/li>\n<li>\u00e2ngulos opostos pelo v\u00e9rtice s\u00e3o congruentes: [tex]\\hat{a} \\, \\equiv \\hat{c} \\, [\/tex] ; [tex]\\hat{b} \\, \\equiv \\hat{d} \\, [\/tex] ; [tex]\\hat{e} \\, \\equiv \\hat{g} \\, [\/tex]  ; [tex]\\hat{f} \\, \\equiv \\hat{h} \\, [\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p>Vale a pena registrar que a congru\u00eancia de apenas um  par de \u00e2ngulos alternos (ou um par de \u00e2ngulos correspondentes) definidos em duas retas intersectadas por uma transversal garante que essas duas retas s\u00e3o paralelas.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"gree te2\"  style=\"width:80%;\">\n<strong>Considere duas retas intersectadas por uma transversal.<br \/>\n<span class=\"c3\" style=\"padding-left:20px;font-size:15px;\">&#9658;<\/span> Se dois \u00e2ngulos alternos definidos pela transversal forem congruentes, ent\u00e3o as duas retas s\u00e3o paralelas.<br \/>\n<span class=\"c3\" style=\"padding-left:20px;font-size:15px;\">&#9658;<\/span> Se dois \u00e2ngulos correspondentes  definidos pela transversal forem s\u00e3o congruentes, ent\u00e3o as duas retas s\u00e3o paralelas. <\/strong> <\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><strong>CUIDADO:<\/strong> A congru\u00eancia de dois \u00e2ngulos opostos pelo v\u00e9rtice definidos por uma transversal a duas retas dadas <strong>N\u00c3O <\/strong>garante que essas duas retas sejam paralelas.<\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 20px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"c3 ti3\">Equipe COM &#8211; OBMEP<\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 20px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<\/div>\n<p style=\"font-size: 16px;line-height: 1px;text-align: right; color: #800000;\">Janeiro de 2018<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-93419","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/93419","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=93419"}],"version-history":[{"count":49,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/93419\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":223629,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/93419\/revisions\/223629"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=93419"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}