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Problema Mostre que [tex]x^2+4y^2-4xy+2x-4y+2>0[\/tex], quaisquer que sejam os n\u00fameros reais [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex].<\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n \n [tex]\\begin{align*} Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Mostre que [tex]x^2+4y^2-4xy+2x-4y+2>0[\/tex], quaisquer que sejam os n\u00fameros reais [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o Observe que, se [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais, podemos reescrever a express\u00e3o dada no problema da seguinte forma: [tex]\\begin{align*} \\qquad x^2+4y^2-4xy+2x-4y+2 &=x^2+2x+1+4y^2-4xy-4y+1\\\\ &=(x+1)^2-4y(x+1)+4y^2+1\\\\ &=[(x+1)-2y]^2+1\\\\ &=(x-2y+1)^2+1 \\end{align*}[\/tex] Como [tex]\\qquad (x-2y+1)^2+1 \\gt 0 … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
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\nObserve que, se [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais, podemos reescrever a express\u00e3o dada no problema da seguinte forma:<\/p>\n
\n\\qquad x^2+4y^2-4xy+2x-4y+2 &=x^2+2x+1+4y^2-4xy-4y+1\\\\
\n&=(x+1)^2-4y(x+1)+4y^2+1\\\\
\n&=[(x+1)-2y]^2+1\\\\
\n&=(x-2y+1)^2+1
\n\\end{align*}[\/tex]
\nComo
\n[tex]\\qquad (x-2y+1)^2+1 \\gt 0 \\, [\/tex],
\nsegue que:
\n[tex]\\qquad x^2+4y^2-4xy+2x-4y+2=(x-2y+1)^2+1>0 \\, [\/tex],
\nou seja,
\n[tex]\\qquad \\boxed{ x^2+4y^2-4xy+2x-4y+2 \\gt 0} \\, .[\/tex]<\/p>\n
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