{"id":92392,"date":"2017-12-20T14:58:00","date_gmt":"2017-12-20T16:58:00","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=92392"},"modified":"2023-05-28T00:23:04","modified_gmt":"2023-05-28T03:23:04","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-o-desenho-da-aline","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-o-desenho-da-aline\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: O desenho da Aline"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=192132\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#8D918D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:35px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nA partir de um grande tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero com \u00e1rea de [tex]9 \\, cm^2[\/tex], Aline fez o desenho mostrado na figura.<br \/>\nOs segmentos de reta internos que ela desenhou s\u00e3o paralelos aos lados do tri\u00e2ngulo maior e dividem cada um desses lados em tr\u00eas partes iguais.<br \/>\n<strong>Qual a \u00e1rea da parte colorida de amarelo?<\/strong><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob70.png\" style=\"border: none; \"alt=\"\" width=\"204\" height=\"180\" class=\"aligncenter size-full wp-image-91666\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob70.png 307w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob70-300x264.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 204px) 100vw, 204px\" \/>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:92%; margin-left:auto; margin-right:auto; \">\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> Ferramentas que podem ajudar<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"cb33\"  style=\"text-align: justify;  width: 95%;  padding: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; line-height:30px;\">\n<span style=\"color: #800000;\"><strong>Propriedade [tex]1[\/tex]<\/strong><\/span>: Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam \u00e2ngulos correspondentes congruentes.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/03\/0f49.png\"  style=\"border:none;\" alt=\"0f49\" width=\"500\" height=\"314\" class=\"aligncenter size-full wp-image-73357\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/03\/0f49.png 668w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/03\/0f49-300x189.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 500px) 100vw, 500px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong><em>Reta transversal<\/em><\/strong> a outras retas \u00e9 uma reta que intersecta essas outras retas em pontos diferentes.<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"cb33\"  style=\"text-align: justify;  width: 95%;  padding: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; line-height:30px;\">\n<span style=\"color: #800000;\"><strong>Propriedade [tex]2[\/tex]<\/strong><\/span>: <strong>Caso de Semelhan\u00e7a A.A.<\/strong> (\u00e2ngulo \u2013 \u00e2ngulo): Se dois \u00e2ngulos de um tri\u00e2ngulo s\u00e3o congruentes a dois \u00e2ngulos de outro tri\u00e2ngulo, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes. <\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"cb33\"  style=\"text-align: justify;  width: 95%;  padding: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; line-height:30px;\">\n<span style=\"color: #800000;\"><strong>Propriedade [tex]3[\/tex]<\/strong><\/span>: A raz\u00e3o entre as \u00e1reas de dois tri\u00e2ngulos semelhantes \u00e9 o quadrado da raz\u00e3o de semelhan\u00e7a.<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nObserve a figura abaixo.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob70_2.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"308\" height=\"267\" class=\"aligncenter size-full wp-image-91676\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob70_2.png 308w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob70_2-300x260.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 308px) 100vw, 308px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>Perceba que, por m\u00faltiplas aplica\u00e7\u00f5es da <strong>Propriedade 1<\/strong>, podemos concluir que todos os \u00e2ngulos indicados por <span style=\"color:#006400\"> <strong>1<\/strong><\/span> t\u00eam a mesma medida, assim como os indicados com  <span style=\"color:#FF0000\"> <strong>2<\/strong><\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Essa observa\u00e7\u00e3o sobre a congru\u00eancia dos \u00e2ngulos destacados na figura nos d\u00e1 uma primeira informa\u00e7\u00e3o importante para resolvermos o problema: <\/p>\n<ul>\n<li><strong>pela Propriedade 2, os tri\u00e2ngulos [tex]T_1 \\, [\/tex], [tex]T_2 \\, [\/tex], [tex]T_3[\/tex] e o original s\u00e3o semelhantes.<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"font-size:11px; margin:10px; line-height:20px;\">(Na verdade, como  o tri\u00e2ngulo original \u00e9 equil\u00e1tero, todas as medidas dos \u00e2ngulos desses quatro tri\u00e2ngulos s\u00e3o iguais, ou seja, os \u00e2ngulos indicados por <span style=\"color:#006400\"> <strong>1<\/strong><\/span>  e por <span style=\"color:#FF0000\"> <strong>2<\/strong><\/span> s\u00e3o congruentes.)<\/p>\n<p>Como os lados do tri\u00e2ngulo maior foram divididos em tr\u00eas partes iguais, a raz\u00e3o de semelhan\u00e7a entre o tri\u00e2ngulo maior e cada um dos tri\u00e2ngulos [tex]T_1 \\, [\/tex], [tex]T_2 \\, [\/tex] e [tex]T_3[\/tex] \u00e9 [tex]3[\/tex]. Assim, pela Propriedade 3, a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo maior \u00e9 nove vezes maior do que a \u00e1rea de cada um desses tri\u00e2ngulos pequenos.<br \/>\nDessa forma, [tex]T_1 \\, [\/tex], [tex]T_2 \\, [\/tex] e [tex]T_3[\/tex] t\u00eam \u00e1rea [tex]\\boxed{\\dfrac{9}{9}=1 \\, cm^2} \\, [\/tex] cada um.<br \/>\nPor outro lado, observe que a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida de amarelo \u00e9 a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo externo menos a \u00e1rea desses tri\u00e2ngulos. Assim, a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida de amarelo, [tex]A_a \\, [\/tex], \u00e9 dada por:<br \/>\n[tex]\\qquad A_a=9-3 \\times 1=9-3=\\fcolorbox{black}{#FFFF00}{$6 \\, cm^2$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nObserve que os segmentos tracejados definem nove tri\u00e2ngulos internos ao tri\u00e2ngulo maior da figura original.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob70_3.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"310\" height=\"271\" class=\"aligncenter size-full wp-image-91692\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob70_3.png 310w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob70_3-300x262.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 310px) 100vw, 310px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>Perceba que as alturas dos tri\u00e2ngulos menores t\u00eam o mesmo comprimento, pois est\u00e3o em perpendiculares a retas paralelas que se encontram a uma mesma dist\u00e2ncia, j\u00e1 que os lados do tri\u00e2ngulo maior foram divididos em partes com o mesmo comprimento.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>As bases dos tri\u00e2ngulos menores t\u00eam o mesmo comprimento, pois est\u00e3o em retas paralelas e s\u00e3o limitadas por outras paralelas que se encontram a uma mesma dist\u00e2ncia.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Assim, os nove tri\u00e2ngulos internos ao tri\u00e2ngulo maior t\u00eam a mesma \u00e1rea e, portanto, cada um tem \u00e1rea de [tex]\\dfrac{9}{9}=1\\,cm^2.[\/tex]<br \/>\nFinalizando, a parte colorida de amarelo \u00e9 formada por seis desses tri\u00e2ngulos internos; assim, sua \u00e1rea \u00e9 dada por:<br \/>\n[tex]\\qquad A_a=6 \\times 1=\\fcolorbox{black}{#FFFF00}{$6 \\, cm^2$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/O-desenho-da-Aline.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ O desenho da Aline.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. 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