{"id":92389,"date":"2017-12-20T14:50:40","date_gmt":"2017-12-20T16:50:40","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=92389"},"modified":"2023-05-28T00:19:54","modified_gmt":"2023-05-28T03:19:54","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-um-problema-simples-mas-nao-usual","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-problema-simples-mas-nao-usual\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Um problema n\u00e3o usual!"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=192129\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#8D918D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:35px;\">\n<p class=\"tit\"  style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema <span style=\"font-size:12px; color:#0000FF\"><br \/>\n(A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Muito Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nQuantos pares de n\u00fameros inteiros [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex] satisfazem a  igualdade [tex]a^2b^2+a^2+b^2+1=2005[\/tex]?\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:35px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nObserve, inicialmente, que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\begin{align*}a^2b^2+a^2+b^2+1&#038;=\\left(a^2b^2+a^2\\right)+b^2+1\\\\<br \/>\n&#038;=a^2 \\left(b^2+1\\right)+b^2+1\\\\<br \/>\n&#038;=a^2 \\left(b^2+1\\right)+\\left(b^2+1\\right)\\\\<br \/>\n&#038;=\\left(a^2 +1\\right)\\left(b^2+1\\right).\\\\<br \/>\n \\end{align*}[\/tex]<br \/>\nAssim, temos que [tex]\\left(a^2 +1\\right)\\left(b^2+1\\right)=2005[\/tex] e, como [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros inteiros, ent\u00e3o [tex]a^2 +1[\/tex] e [tex]b^2+1[\/tex] s\u00e3o divisores positivos de [tex]2005[\/tex].<br \/>\nVamos, ent\u00e3o, encontrar os divisores de [tex]2005[\/tex]:<\/p>\n<table class=\"bf\" style=\"width:90%; margin-left:40px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\" style=\"width:50%;\">\n<p style=\"padding-left: 20px;\">\n[tex]\\begin{array}{r|l} 2005&#038; 5 \\\\401 &#038; 401 \\\\1 \\end{array}[\/tex]  <\/p>\n<p>Consulte <a  href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/Primos2.pdf\" onclick=\"window.open(this.href, '_blank', 'width=550,height=600,left=0,top=0'); return false\"> <strong>esta tabela<\/strong> <\/a> e veja que [tex]401[\/tex] \u00e9 primo! <span style=\"font-size:11px;\">Depois de consultar a tabela, n\u00e3o se esque\u00e7a de fechar a janelinha que se abriu.<\/span><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p style=\"padding-left: 40px;\">[tex]\\begin{array}{c} \\hspace{2.6 cm} \\end{array}   \\begin{array}{l} \\, \\fcolorbox{black}{#FFC0CB}{1} \\,  \\\\  \\hline \\end{array}[\/tex]<br \/>\n[tex] \\begin{array}{r|l} 2005 &#038; 5 &#038; \\fcolorbox{black}{#FFC0CB}{5}\\\\401 &#038; 401 &#038; \\fcolorbox{black}{#FFC0CB}{401} \\,  \\,  \\,  \\, \\fcolorbox{black}{#FFC0CB}{2005}\\\\ 1 \\end{array}[\/tex] <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>Temos ent\u00e3o que [tex]2005=5 \\times 401[\/tex] e os divisores positivos de [tex]2005[\/tex] s\u00e3o [tex]1, \\, 5, \\, 401, \\, 2005 \\, [\/tex]; vamos analis\u00e1-los.<\/p>\n<ul>\n<li> Observe que [tex]a^2 +1\\ne 2005[\/tex]; pois, caso contr\u00e1rio, ter\u00edamos [tex]a^2 =2004[\/tex] e sabemos que [tex]2004[\/tex] n\u00e3o \u00e9 um quadrado perfeito, j\u00e1 que [tex]2004=2^2 \\times 3 \\times 167[\/tex].<\/li>\n<li> Analogamente, [tex]b^2+1\\ne 2005[\/tex]; pois, caso contr\u00e1rio, ter\u00edamos [tex]b^2=2004[\/tex] e j\u00e1 sabemos que [tex]2004[\/tex] n\u00e3o \u00e9 um quadrado perfeito.<\/li>\n<li>Tamb\u00e9m [tex]a^2 +1\\ne 1[\/tex]; pois, caso contr\u00e1rio, ter\u00edamos [tex]a=0[\/tex], o que acarretaria [tex]b^2+1=2005[\/tex], que j\u00e1 sabemos n\u00e3o ser poss\u00edvel.<\/li>\n<li>De modo an\u00e1logo, [tex]b^2 +1\\ne 1[\/tex]; pois, caso contr\u00e1rio, ter\u00edamos [tex]b=0[\/tex], o que acarretaria [tex]a^2+1=2005[\/tex], que tamb\u00e9m n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Assim, resta-nos apenas duas possibilidades:<br \/>\n[tex]\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] [tex]a^2 +1=5[\/tex] e [tex]b^2 +1=401[\/tex]: Neste caso, [tex]a^2 =4[\/tex] e [tex]b^2 =400[\/tex], donde [tex]a=\\pm 2[\/tex] e [tex]b=\\pm 20[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] [tex]a^2 +1=401[\/tex] e [tex]b^2 +1=5[\/tex]: Neste caso, [tex]a^2 =400[\/tex] e [tex]b^2 =4[\/tex], donde [tex]a=\\pm 20[\/tex] e [tex]b=\\pm 2[\/tex]<br \/>\nA tabela abaixo nos mostra que s\u00e3o oito pares de n\u00fameros inteiros [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex] que satisfazem a  igualdade [tex]a^2b^2+a^2+b^2+1=2005.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]\\begin{array}{|r| r | c| }<br \/>\n\\hline<br \/>\na &#038; b &#038; \\left(a^2 +1\\right)\\left(b^2+1\\right)\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n2 &#038; 20 &#038; (2^2+1)(20^2+1)=5 \\cdot 401=2005\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n2 &#038; -20 &#038; (2^2+1)((-20)^2+1)=5 \\cdot 401=2005\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n-2 &#038; 20 &#038; ((-2)^2+1)(20^2+1)=5 \\cdot 401=2005\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n-2 &#038; -20 &#038; ((-2)^2+1)((-20)^2+1)=5 \\cdot 401=2005\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n20 &#038; 2 &#038; (20^2+1)(2^2+1)=401 \\cdot 5=2005\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n20 &#038; -2 &#038; (20^2+1)((-2)^2+1)=401 \\cdot 5 =2005\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n-20 &#038; 2 &#038; ((-20)^2+1)(2^2+1)=401 \\cdot 5=2005\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n-20 &#038; -2 &#038; ((-20)^2+1)((-2)^2+1)=401 \\cdot 5=2005\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:30px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right:auto; width:525x;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\" wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"explicador_p\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"90\" height=\"108\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala bg33 cb33\" style=\"width:400px; line-height: 20px; font-size: small\" > Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra dos processos que utilizamos para encontrar os divisores de [tex]2005[\/tex], consulte <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=91330_#O1\"  title=\"Contagem de Divisores - Dispositivo pr\u00e1tico.\" onclick=\"window.open(this.href, '_blank', 'width=750,height=700,left=0,top=0'); return false\"> <strong>esta p\u00e1gina<\/strong> <\/a>.<br \/>\nDepois de terminar a leitura, n\u00e3o se esque\u00e7a de fechar a janelinha que ir\u00e1 se abrir.\n<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/Um-problema-n\u00e3o-usual.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Um problema n\u00e3o usual\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: Muito Dif\u00edcil) Quantos pares de n\u00fameros inteiros [tex]a \\, [\/tex] e [tex] \\, b[\/tex] satisfazem a igualdade [tex]a^2b^2+a^2+b^2+1=2005[\/tex]? Solu\u00e7\u00e3o Observe, inicialmente, que: [tex]\\qquad \\begin{align*}a^2b^2+a^2+b^2+1&#038;=\\left(a^2b^2+a^2\\right)+b^2+1\\\\ &#038;=a^2 \\left(b^2+1\\right)+b^2+1\\\\ &#038;=a^2 \\left(b^2+1\\right)+\\left(b^2+1\\right)\\\\ &#038;=\\left(a^2 +1\\right)\\left(b^2+1\\right).\\\\ \\end{align*}[\/tex] Assim, temos que &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-problema-simples-mas-nao-usual\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-92389","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/92389","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=92389"}],"version-history":[{"count":18,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/92389\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":192131,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/92389\/revisions\/192131"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=92389"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}