{"id":91618,"date":"2017-12-11T14:25:56","date_gmt":"2017-12-11T16:25:56","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=91618"},"modified":"2023-05-27T23:26:21","modified_gmt":"2023-05-28T02:26:21","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-um-quadrado-inscrito-em-um-triangulo-inscrito","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-quadrado-inscrito-em-um-triangulo-inscrito\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Um quadrado inscrito em um tri\u00e2ngulo inscrito"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\nAninha inscreveu um quadrado em um tri\u00e2ngulo que, por sua vez, est\u00e1 inscrito em um outro quadrado com [tex]1[\/tex] metro de lado.
\nQual \u00e9 a \u00e1rea, em metros quadrados, do quadrado menor?<\/strong>
\n\"fig001\"\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nObserve, inicialmente, que a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo inscrito no quadrado maior \u00e9 [tex]\\dfrac{1}{2}.[\/tex]
\nObserve, tamb\u00e9m, que a \u00e1rea desse tri\u00e2ngulo \u00e9 a soma das \u00e1reas do quadrado menor e de tr\u00eas tri\u00e2ngulos menores, conforme vemos na figura abaixo.
\n\"\"Assim, se:<\/p>\n
    \n
  • [tex]x[\/tex] \u00e9 comprimento dos lados do quadrado menor;<\/li>\n
  • [tex]A_q[\/tex] \u00e9 a \u00e1rea do quadrado menor;<\/li>\n
  • [tex]A_1[\/tex] \u00e9 a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]T_1[\/tex];<\/li>\n
  • [tex]A_2[\/tex] \u00e9 a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]T_2[\/tex];<\/li>\n
  • [tex]A_3[\/tex] \u00e9 a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]T_3[\/tex];<\/li>\n<\/ul>\n

    ent\u00e3o podemos afirmar que:
    \n[tex]\\qquad\\dfrac{1}{2}=A_q+A_1+A_2+A_3[\/tex]<\/p>\n

    \n

    [tex]\\qquad\\dfrac{1}{2}=x^2+\\dfrac{x(1-x)}{2}+A_2+A_3. \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
    \nN\u00e3o sabemos quais s\u00e3o os comprimentos das bases dos tri\u00e2ngulos [tex]T_2[\/tex] e [tex]T_3[\/tex], mas observamos que a soma desses comprimentos \u00e9 [tex]1-x[\/tex] e a altura relativa a essa base de cada um \u00e9 [tex]x[\/tex]. Com isso, temos que [tex]A_2+A_3=\\dfrac{x(1-x)}{2}[\/tex] e, portanto, segue por [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] que:
    \n[tex]\\qquad\\dfrac{1}{2}=x^2+\\dfrac{x(1-x)}{2}+\\left(A_2+A_3\\right)[\/tex]<\/p>\n

    \n

    [tex]\\qquad\\dfrac{1}{2}=x^2+\\dfrac{x(1-x)}{2}+\\dfrac{x(1-x)}{2}[\/tex]<\/p>\n

    \n

    [tex]\\qquad\\dfrac{1}{2}=x^2+2 \\, \\dfrac{x(1-x)}{2}[\/tex]<\/p>\n

    \n

    [tex]\\qquad\\dfrac{1}{2}=x^2+\\cancel{2} \\, \\dfrac{x(1-x)}{\\cancel{2}}[\/tex]
    \n[tex]\\qquad\\dfrac{1}{2}=x^2+x(1-x)[\/tex]<\/p>\n

    \n

    [tex]\\qquad\\dfrac{1}{2}=x^2+x-x^2[\/tex]<\/p>\n

    \n

    [tex]\\qquad \\boxed{x=\\dfrac{1}{2}}.[\/tex]
    \nComo o lado do quadrado menor \u00e9 [tex]\\dfrac{1}{2} \\, m[\/tex], ent\u00e3o sua \u00e1rea \u00e9 [tex]\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2=\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{1}{4} \\, m^2$} \\, .[\/tex]<\/p>\n

    \n

    Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

    \n

    \n

    Um applet para ajudar. . . <\/p>\n

    \n

    \n

    Voc\u00ea pode utilizar este applet para observar duas propriedades que aparecem implicitamente na solu\u00e7\u00e3o deste problema:<\/p>\n

      \n
    • A medida dos lados do quadrado interno n\u00e3o se altera ao modificarmos a forma do tri\u00e2ngulo.<\/li>\n
    • O comprimento dos lados do quadrado menor \u00e9 a metade do comprimento dos lados do quadrado maior.<\/li>\n<\/ul>\n

      Instru\u00e7\u00f5es:<\/strong>
      \n1)<\/strong> Aguarde o aplicativo carregar completamente.
      \n2)<\/strong> Para modificar a forma do tri\u00e2ngulo inscrito, clique sobre o ponto P<\/strong> <\/span> e, mantendo o mouse pressionado, movimente-o.
      \n3)<\/strong> Para modificar a medida do quadrado externo, clique sobre o ponto B<\/strong> e, mantendo o mouse pressionado, movimente-o.
      \n4)<\/strong> Voc\u00ea encontrar\u00e1 registrados no applet :<\/p>\n

        \n
      • a medida dos lados do quadrado maior<\/li>\n
      • a medida dos lados do quadrado menor.<\/li>\n<\/ul>\n

        5)<\/strong> Lembre-se de que o GeoGebra fornece valores aproximados para as medidas apresentadas.<\/span><\/p>\n

        \n