{"id":91591,"date":"2017-12-11T13:59:32","date_gmt":"2017-12-11T15:59:32","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=91591"},"modified":"2023-05-24T23:02:23","modified_gmt":"2023-05-25T02:02:23","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-brincando-com-um-tabuleiro","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-brincando-com-um-tabuleiro\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Brincando com um tabuleiro"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=191830\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#915F6D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:35px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#FF8C00\"> (A partir do 7\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Muito Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Um tabuleiro [tex]3 \u00d7 3[\/tex] foi inicialmente preenchido com zeros. Em seguida, a cada passo, foi escolhido um quadrado [tex]2 \u00d7 2[\/tex] e somou-se [tex]1[\/tex] a todos os n\u00fameros das quatro casas do quadrado escolhido. Por exemplo, os tr\u00eas primeiros  passos poderiam ter sido:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/06\/fig0010.png\" style=\"border: none;\" alt=\"fig0010\" width=\"460\" height=\"87\" class=\"aligncenter size-full wp-image-77674\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/06\/fig0010.png 460w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/06\/fig0010-300x57.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 460px) 100vw, 460px\" \/><\/p>\n<p>Depois de [tex]28[\/tex] passos, foi obtida a configura\u00e7\u00e3o abaixo, da qual alguns n\u00fameros foram apagados. <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/06\/fig09.png\" style=\"border: none;\" alt=\"fig09\" width=\"89\" height=\"79\" class=\"aligncenter size-full wp-image-77673\" \/><strong><br \/>\nComplete o tabuleiro com os n\u00fameros que foram apagados.<\/strong>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Antes de mais nada, perceba que podemos escolher os quadrados [tex]2 \\times 2 [\/tex] de quatro maneiras diferentes e que cada quadradinho dos cantos s\u00f3 est\u00e1 em uma Configura\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob69_2.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"500\" height=\"121\" class=\"aligncenter size-full wp-image-91555\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob69_2.png 403w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/prob69_2-300x73.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 500px) 100vw, 500px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>Observe que, como o quadradinho central do tabuleiro est\u00e1 nas quatro configura\u00e7\u00f5es, ele esteve presente nas [tex]28[\/tex] escolhas. Ent\u00e3o o quadradinho central recebeu [tex]28[\/tex] &#8220;uns&#8221; e, portanto, l\u00e1 estava o n\u00famero [tex]28[\/tex].<\/li>\n<li> Observe tamb\u00e9m que o quadradinho que cont\u00e9m o [tex]17[\/tex] n\u00e3o faz parte das duas \u00faltimas Configura\u00e7\u00f5es exibidas na figura acima; logo, foi escolhido um dos quadrados [tex]2 \\times 2 [\/tex] das Configura\u00e7\u00f5es [tex]3 [\/tex] e [tex]4[\/tex] por [tex]28\u221217=11[\/tex] vezes. Assim, o quadradinho abaixo do central continha o n\u00famero [tex]11[\/tex], j\u00e1 que este quadradinho faz parte das duas \u00faltimas configura\u00e7\u00f5es.<\/li>\n<li> Com o mesmo racioc\u00ednio, observamos que o quadradinho que cont\u00e9m o n\u00famero [tex]9[\/tex] n\u00e3o faz parte das  Configura\u00e7\u00f5es [tex]1 [\/tex] e [tex]3[\/tex]; logo, essas Configura\u00e7\u00f5es foram escolhidas [tex]28\u22129=19[\/tex] vezes. Portanto, o quadradinho \u00e0 esquerda do central continha o n\u00famero [tex]19.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>At\u00e9 agora, j\u00e1 recuperamos tr\u00eas dos n\u00fameros apagados<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\n[tex]\\begin{array}{|c|c|c|}<br \/>\n\\hline<br \/>\n&#038; 17&#038; \\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\textcolor{#800000}{19} &#038; \\textcolor{#800000}{28} &#038; 9\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n7 &#038; \\textcolor{#800000}{11} &#038; \\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li>O n\u00famero [tex]7 [\/tex] presente no tabuleiro indica que a Configura\u00e7\u00e3o [tex]3 [\/tex] foi usada [tex]7[\/tex] vezes. Mas sabemos que as Configura\u00e7\u00f5es [tex]3 [\/tex] e [tex]4[\/tex] foram escolhidas [tex]11[\/tex] vezes; assim, a Configura\u00e7\u00e3o [tex]4[\/tex] foi escolhida [tex]11-7=4[\/tex] vezes <span style=\"font-size:11px;\"> (lembre-se de que o [tex]7[\/tex] s\u00f3 est\u00e1 na Configura\u00e7\u00e3o [tex]3)[\/tex]<\/span> e, com isso, o quadradinho do canto inferior direito cont\u00e9m o n\u00famero [tex]4[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align:center;\">\n[tex]\\begin{array}{|c|c|c|}<br \/>\n\\hline<br \/>\n&#038; 17&#038; \\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\textcolor{#800000}{19} &#038; \\textcolor{#800000}{28} &#038; 9\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n7 &#038; \\textcolor{#800000}{11} &#038; \\textcolor{#800000}{4}\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li>Os n\u00fameros [tex]9 [\/tex] e [tex]4 [\/tex] que aparecem no tabuleiro nos indicam que as Configura\u00e7\u00f5es [tex]2 [\/tex] e [tex]4[\/tex] foram escolhidas [tex]9[\/tex] vezes, mas a Configura\u00e7\u00e3o [tex]4[\/tex] foi escolhida apenas [tex]4[\/tex] vezes. Assim, a Configura\u00e7\u00e3o [tex]2[\/tex] foi escolhida [tex]9-4=5[\/tex] vezes, j\u00e1 que o canto inferior direito n\u00e3o faz parte dela. Dessa forma, conclu\u00edmos que o quadradinho do canto superior direito cont\u00e9m o n\u00famero [tex]5[\/tex].<\/li>\n<li> Raciocinando do mesmo modo, conclu\u00edmos que o quadradinho do canto superior esquerdo cont\u00e9m o n\u00famero [tex]19-7=12 [\/tex] e o tabuleiro \u00e9, finalmente, preenchido.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align:center;\">\n[tex]\\begin{array}{|c|c|c|}<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\textcolor{#800000}{12}&#038; 17&#038;\\textcolor{#800000}{5} \\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\textcolor{#800000}{19} &#038; \\textcolor{#800000}{28} &#038; 9\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n7 &#038; \\textcolor{#800000}{11} &#038; \\textcolor{#800000}{4}\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/Brincando-com-um-tabuleiro.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Brincando com um tabuleiro.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. 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