Problema Uma circunfer\u00eancia, com centro no primeiro quadrante, passa pelos pontos com coordenadas [tex](0, 0)[\/tex] e [tex](4, 0)[\/tex] e \u00e9 tangente, internamente, \u00e0 circunfer\u00eancia cuja equa\u00e7\u00e3o \u00e9 [tex]x^2+y^2=25[\/tex]. Determine as coordenadas do ponto de interse\u00e7\u00e3o dessas circunfer\u00eancias.<\/strong><\/p>\n \n<\/div>\n \n Lembrete <\/p>\n \n Nas solu\u00e7\u00f5es apresentadas, utilizou-se o seguinte fato: \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n Sejam [tex]C=(a,b)[\/tex] e [tex]r[\/tex] o centro e o raio, respectivamente, da circunfer\u00eancia interna. Observe que, como o centro est\u00e1 no primeiro quadrante, os valores de [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] devem ser positivos. [tex]\\qquad \\begin{cases} Resolvendo esse sistema e considerando que [tex]a>0[\/tex] e [tex]b>0[\/tex], obt\u00e9m-se [tex]a=2[\/tex] e [tex]b=\\frac{3}{2}[\/tex]. [tex]\\qquad \\begin{cases} Ent\u00e3o, para encontrarmos as coordenadas [tex](m,n)[\/tex] do ponto de tang\u00eancia, bastaria resolver o sistema:<\/p>\n [tex]\\qquad \\begin{cases} De qualquer forma, obtemos [tex]m=4[\/tex] e [tex]n=3.[\/tex] Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.) Uma circunfer\u00eancia, com centro no primeiro quadrante, passa pelos pontos com coordenadas [tex](0, 0)[\/tex] e [tex](4, 0)[\/tex] e \u00e9 tangente, internamente, \u00e0 circunfer\u00eancia cuja equa\u00e7\u00e3o \u00e9 [tex]x^2+y^2=25[\/tex]. Abaixo, est\u00e3o ilustradas as duas circunfer\u00eancias. Determine as coordenadas do ponto de interse\u00e7\u00e3o dessas circunfer\u00eancias. Lembrete Nas solu\u00e7\u00f5es … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
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\nAbaixo, est\u00e3o ilustradas as duas circunfer\u00eancias.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/juliana010.png\")
<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n ✐ <\/span> Se duas circunfer\u00eancias distintas s\u00e3o tangentes internas e a circunfer\u00eancia interna passa pelo centro da externa, ent\u00e3o o segmento entre o centro da circunfer\u00eancia externa e o ponto de tang\u00eancia \u00e9 um di\u00e2metro da circunfer\u00eancia interna.<\/p>\n
\n
\nNa circunfer\u00eancia com equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2+y^2=25[\/tex], podemos observar que o centro \u00e9 [tex]O=(0,0)[\/tex] e o raio \u00e9 [tex]R=5[\/tex].
\nObserve que o di\u00e2metro da circunfer\u00eancia menor \u00e9 igual ao raio da circunfer\u00eancia maior; a\u00ed, podemos concluir ent\u00e3o que [tex]r=\\frac{R}{2}=\\frac{5}{2}[\/tex]. Dessa forma, a equa\u00e7\u00e3o da circunfer\u00eancia menor fica assim definida: [tex](x-a)^2+(y-b)^2=\\frac{25}{4}[\/tex]. Essa circunfer\u00eancia passa pelos pontos [tex](0,0)[\/tex] e [tex](4,0)[\/tex]; portanto, substituindo as coordenadas desses pontos na equa\u00e7\u00e3o da circunfer\u00eancia, obtemos:<\/p>\n
\na^2+b^2=\\frac{25}{4}\\\\
\n(4-a)^2+b^2=\\frac{25}{4}
\n\\end{cases}.[\/tex]<\/p>\n
\nPodemos ent\u00e3o escrever a equa\u00e7\u00e3o da circunfer\u00eancia tangente interna como [tex](x-2)^2+\\left(y-\\frac{3}{2}\\right)^2=\\frac{25}{4}.[\/tex]
\nFinalmente, vamos encontrar o ponto de tang\u00eancia das circunfer\u00eancias, [tex]T=(m,n)[\/tex], e podemos fazer isso de duas maneiras.<\/p>\n\n
\nm^2+n^2=25\\\\
\n(m-2)^2+\\left(n-\\frac{3}{2}\\right)^2=\\frac{25}{4}
\n\\end{cases}.[\/tex]<\/p>\n
\nn=\\frac{3}{4}m\\\\
\nm^2+n^2=25
\n\\end{cases}.[\/tex]<\/p>\n<\/ul>\n
\nLogo, o ponto de tang\u00eancia \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$T=(4,3)$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/juliana011.png\")
Considere [tex]O= (0,0)[\/tex], [tex]B=(4,0)[\/tex] e [tex]P=(x_P,y_P)[\/tex], o ponto de tang\u00eancia das circunfer\u00eancias, em que [tex]x_P>0[\/tex] e [tex]y_P>0[\/tex] pois [tex]P[\/tex] est\u00e1 no primeiro quadrante.
\nAssim, como [tex]\\hat{OBP}[\/tex] est\u00e1 inscrito em uma semicircunfer\u00eancia de di\u00e2metro [tex]OP[\/tex], temos que ele \u00e9 um \u00e2ngulo reto.
\nComo [tex]OB[\/tex] \u00e9 perpendicular a [tex]BP[\/tex] e [tex]OB[\/tex] \u00e9 horizontal, temos que [tex]BP[\/tex] \u00e9 vertical e portanto [tex]B[\/tex] e [tex]P[\/tex] possuem mesma abscissa. Logo, [tex]x_P=4[\/tex].
\nPor outro lado, [tex]P=(x_P,y_p)[\/tex] \u00e9 um ponto da circunfer\u00eancia de equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2+y^2=25[\/tex], assim:
\n[tex]\\qquad x_P^2+y_P^2=25 [\/tex]
\n[tex]\\qquad 4^2+y_P^2=25[\/tex]
\n[tex]\\qquad y_P=3.[\/tex]
\nPortanto, o ponto de tang\u00eancia \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$P=(4,3)$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n