{"id":90690,"date":"2017-12-04T00:10:49","date_gmt":"2017-12-04T02:10:49","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=90690"},"modified":"2023-04-14T02:54:58","modified_gmt":"2023-04-14T05:54:58","slug":"__trashed-6","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/__trashed-6\/","title":{"rendered":".Problema: Ant\u00f4nio e o n\u00famero 7"},"content":{"rendered":"

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Problema<\/p>\n

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Ant\u00f4nio \u00e9 um rapaz que adora o n\u00famero [tex]7[\/tex]. Brincando com sua calculadora, ele registrou algumas opera\u00e7\u00f5es que efetuou em uma tabela.<\/p>\n

\n[tex]\\qquad \\begin{array}{|l|l|l|}
\n\\hline & \\textrm{Opera\u00e7\u00e3o Matem\u00e1tica} & \\textrm{Resultado} \\\\
\n\\hline \\textrm{Linha 1}&7\\times77 &539\\\\
\n\\hline \\textrm{Linha 2}&7\\times777&5439 \\\\
\n\\hline \\textrm{Linha 3}&7\\times7777& 54439\\\\
\n\\hline \\textrm{Linha 4}&7\\times77777& 544439\\\\
\n\\hline \\textrm{Linha 5}&7\\times777777& 5444439\\\\
\n\\hline \\vdots&\\vdots&\\vdots\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]\n<\/p>\n

Admitindo-se que o resultado em cada linha [tex]n[\/tex], [tex]n[\/tex] um n\u00famero natural n\u00e3o nulo, segue o mesmo padr\u00e3o mostrado no in\u00edcio da tabela, em qual linha aparecer\u00e1 o primeiro resultado m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex]?<\/p>\n

\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o 1
\n (Indicada a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

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Para um n\u00famero natural ser divis\u00edvel por [tex]9[\/tex], \u00e9 necess\u00e1rio e suficiente que a soma de seus algarismos seja divis\u00edvel por [tex]9[\/tex].
\nObserve que a soma dos algarismos do resultado pertencente \u00e0 primeira linha, [tex]539[\/tex], \u00e9 igual a [tex]5+3+9=17[\/tex]. Al\u00e9m disso, a cada linha \u00e9 inserido um algarismo [tex]4[\/tex] no resultado e, portanto, \u00e9 tamb\u00e9m acrescido o n\u00famero [tex]4[\/tex] na soma dos algarismos dos resultados.
\nComo queremos um m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex], basta encontrar o menor [tex]k\\in \\mathbb{N}[\/tex] tal que [tex]17+4k=9n[\/tex], [tex]n \\in \\mathbb{N}[\/tex]<\/span>: a solu\u00e7\u00e3o do problema ser\u00e1 a linha de n\u00famero [tex]k+1.[\/tex]<\/p>\n

\n[tex]\\qquad \\begin{array}{|l|l|l|l|}
\n\\hline & \\textrm{Opera\u00e7\u00e3o Matem\u00e1tica} & \\textrm{Resultado}& \\text{Forma} \\, 17+4t \\\\
\n\\hline \\textrm{Linha} \\, \\textcolor{#800000}{1}&7\\times77 &539 & 17+4\\cdot\\textcolor{#800000}{0}\\\\
\n\\hline \\textrm{Linha} \\, \\textcolor{#800000}{2}&7\\times777&5439 & 17+4\\cdot\\textcolor{#800000}{1} \\\\
\n\\hline \\textrm{Linha} \\, \\textcolor{#800000}{3}&7\\times7777& 54439 & 17+4\\cdot\\textcolor{#800000}{2}\\\\
\n\\hline \\vdots&\\vdots&\\vdots&\\vdots\\\\
\n\\hline \\textrm{Linha} \\, \\textcolor{#800000}{k+1}&7\\times7777\\cdots7& ? & 17+4\\cdot\\textcolor{#800000}{k}\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}[\/tex]\n<\/p>\n

O menor valor de [tex]k[\/tex] nessas condi\u00e7\u00f5es \u00e9 [tex]k=7[\/tex]. Assim, t\u00eam-se [tex]17+4\\times 7=17+28=45=9\\cdot 5[\/tex].
\nPortanto, o resultado pertencer\u00e1 \u00e0 oitava linha.<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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\n

Solu\u00e7\u00e3o 2
\n (Indicada a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n

Veja que o resultado de uma linha [tex]n[\/tex] sempre \u00e9 o resultado da multiplica\u00e7\u00e3o [tex]7\\times\\underbrace{77\\cdots77}_{n+1\\, setes} \\, .[\/tex] Como [tex]7[\/tex] e [tex]9[\/tex] s\u00e3o primos entre si, para que [tex]7\\times\\underbrace{77\\cdots77}_{n+1\\, setes}[\/tex] seja divis\u00edvel por [tex]9[\/tex] devemos ter, obrigatoriamente, [tex]\\underbrace{77\\cdots77}_{n+1\\, setes}[\/tex] divis\u00edvel por [tex]9[\/tex]. <\/p>\n

Sabe-se que, para um n\u00famero ser divis\u00edvel por [tex]9[\/tex], \u00e9 necess\u00e1rio e suficiente que a soma de seus algarismos seja divis\u00edvel por [tex]9[\/tex]. Por isso, o primeiro resultado m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex] ocorrer\u00e1 quando a soma dos algarismos de [tex]\\underbrace{77\\cdots77}_{n+1\\, setes}[\/tex], isto \u00e9, [tex]7\\cdot (n+1) \\, [\/tex], for divis\u00edvel por [tex]9.[\/tex]<\/p>\n

Usando novamente o fato de que [tex]7[\/tex] e [tex]9[\/tex] s\u00e3o primos entre si, devemos ter [tex]n+1[\/tex] divis\u00edvel por [tex]9[\/tex]. Perceba que isto ocorre pela primeira vez quando [tex]n=8[\/tex] e, portanto, na oitava linha.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o 3
\n (Indicada a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n

Podemos observar, por meio dos c\u00e1lculos, que existe uma “sequ\u00eancia”. O primeiro resultado \u00e9 [tex]539[\/tex], e, ap\u00f3s isso, quando \u00e9 adicionado mais uma vez o algarismo [tex]7[\/tex] insere-se um algarismo [tex]4[\/tex] entre [tex]5[\/tex] e [tex]3[\/tex].
\nAl\u00e9m disso, sabe-se que um n\u00famero \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]9[\/tex] se, e somente se, a soma de seus algarismos \u00e9 divis\u00edvel por [tex]9[\/tex].
\nSoma-se os tr\u00eas algarismos fixos, resultando em [tex]5+3+9=17 \\, [\/tex], e a este resultado soma-se [tex]4[\/tex] (tantas vezes quanto necess\u00e1rio, at\u00e9 chegar a um n\u00famero divis\u00edvel por [tex]9[\/tex]):
\n[tex]\\qquad 17+4=21 \\, \\, ; \\, \\, 21+4=25 \\, \\, ; \\, \\, 25+4=29 \\, \\, ; \\, \\, 29+4=33 \\, \\, ;\\\\
\n\\qquad 33+4=37 \\, \\, ; \\, \\, 37+4=41 \\, \\, ; \\, \\, 41+4=45.[\/tex]
\nLevando em considera\u00e7\u00e3o os resultados das somas, podemos seguir a seguinte sequ\u00eancia:<\/p>\n