{"id":89047,"date":"2017-11-18T13:21:20","date_gmt":"2017-11-18T15:21:20","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=89047"},"modified":"2023-05-24T22:12:17","modified_gmt":"2023-05-25T01:12:17","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-pares-e-impares","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-pares-e-impares\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Pares e \u00edmpares"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=191784\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#915F6D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nSeparando todos os n\u00fameros naturais da sequ\u00eancia [tex]1, 2, \\dots , 2010, 2011[\/tex] em dois conjuntos, um com todos os pares e outro com todos os \u00edmpares, qual a diferen\u00e7a positiva entre as somas dos n\u00fameros desses dois conjuntos?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right:auto; width:470px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\" wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"explicador_p\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"90\" height=\"108\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala bg33 cb33\" style=\"width:350px; line-height: 20px; font-size: 14px; text-align:justify;\" > Para resolver este problema voc\u00ea pode precisar  da soma<br \/>\n [tex]\\quad \\quad 1+2+3+\\cdots +t =\\dfrac{(1+t)\\cdot t}{2} [\/tex].<br \/>\nSe voc\u00ea n\u00e3o se lembra dela, clique <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-para-leitura_013-a-soma-1-2-3-t\/\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a>.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nObserve que, ao separamos os pares e \u00edmpares da sequ\u00eancia [tex]1, 2, \\dots , 2010, 2011[\/tex] em dois conjuntos, ficamos com tr\u00eas somas de elementos:<\/p>\n<ul>\n<li>a soma de todos os elementos:<br \/>\n[tex]T=1+2+3+\\cdots +2010+2011[\/tex];<\/li>\n<li>a soma dos pares:<br \/>\n[tex]P=2+4+6+\\cdots +2008+2010[\/tex];<\/li>\n<li>a soma dos \u00edmpares:<br \/>\n[tex]I=1+3+5+\\cdots +2009+2011[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Utilizando a f\u00f3rmula [tex]\\boxed{1+2+3+\\cdots +t =\\dfrac{(1+t)\\cdot t}{2}},[\/tex] podemos obter [tex]T[\/tex] e [tex]P[\/tex]. Observe:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]T=1+2+3+\\cdots +2010+2011=\\dfrac{2012\\cdot 2011}{2}=2023066[\/tex];<\/li>\n<li>[tex]P=2+4+6+\\cdots +2008+2010=2(1+2+3+\\cdots +1004+1005)\\\\<br \/>\n\\quad =\\dfrac{2\\cdot 1006\\cdot 1005}{2}=1011030\\,.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Note, tamb\u00e9m, que<br \/>\n [tex]\\qquad I-P=(T-P)-P=T-2P[\/tex],<br \/>\nassim<br \/>\n[tex]\\qquad |I-P|=|P-I|=|T-2P|[\/tex]<br \/>\ne a solu\u00e7\u00e3o do problema \u00e9, portanto:<br \/>\n[tex]\\qquad |2023066-2\\cdot 1011030|= |2023066-2022060|=\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1006$} \\, [\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:35px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nO problema poderia tamb\u00e9m ser resolvido observando a tabela abaixo, na qual:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]I[\/tex] indica a sequ\u00eancia dos n\u00fameros \u00edmpares do conjunto [tex]\\{1, 2, \\dots , 2010, 2011\\}[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]P[\/tex] indica a sequ\u00eancia dos n\u00fameros pares do conjunto [tex]\\{1, 2, \\dots , 2010, 2011\\}[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]D[\/tex] indica a diferen\u00e7a entre os dois n\u00fameros da coluna.<\/li>\n<\/ul>\n<p>[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}<br \/>\nI &#038;1&#038;3&#038;5&#038;\\cdots &#038; 2009 &#038; 2011\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\nP &#038; &#038;2&#038;4&#038;\\cdots &#038; 2008 &#038; 2010\\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\nD &#038; 1&#038;1&#038;1&#038;\\cdots &#038; 1&#038; 1\\\\<br \/>\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p>Perceba que temos [tex]\\dfrac{2010}{2}=1005[\/tex] n\u00fameros pares e, consequentemente, [tex]1006[\/tex] n\u00fameros \u00edmpares. Para cada n\u00famero par temos exatamente um \u00edmpar uma unidade maior  e temos ainda o n\u00famero [tex]1[\/tex]; portanto, a diferen\u00e7a positiva entre as somas dos n\u00fameros dos conjuntos  [tex]\\{1, 3, \\dots , 2009, 2011\\}\\,[\/tex] e [tex]\\, \\{2, 4, \\dots , 2008, 2010\\}[\/tex] \u00e9 [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1006$}\\, [\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/Pares-e-\u00edmpares.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Pares e \u00edmpares.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) Separando todos os n\u00fameros naturais da sequ\u00eancia [tex]1, 2, \\dots , 2010, 2011[\/tex] em dois conjuntos, um com todos os pares e outro com todos os \u00edmpares, qual a diferen\u00e7a positiva entre as &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-pares-e-impares\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-89047","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/89047","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=89047"}],"version-history":[{"count":58,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/89047\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":89731,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/89047\/revisions\/89731"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=89047"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}