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Problema \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n \n [tex]\\quad \\begin{align*}(b – c)^2 + (c – a)^2 + (d – b)^2 &= b^2 -2bc + c^2 + c^2 – 2ac + a^2 + d^2 -2db + b^2\\\\ \n [tex]\\textcolor{#800000}{^{(*)}}[\/tex]Observe que essas tr\u00eas igualdades continuam v\u00e1lidas, se [tex]q = 0[\/tex] ou [tex]a = 0[\/tex]; dessa forma, a restri\u00e7\u00e3o inicial de que [tex]q \\, [\/tex] e [tex] \\, a[\/tex] s\u00e3o n\u00e3o nulos n\u00e3o compromete a generalidade do resultado demonstrado: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Sejam [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex], [tex]c[\/tex] e [tex]d[\/tex] quatro n\u00fameros em progress\u00e3o geom\u00e9trica, nessa ordem. Prove que [tex](b – c)^2 + (c – a)^2 + (d – b)^2 = (a – d)^2[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o Seja [tex]q[\/tex] a raz\u00e3o da progress\u00e3o geom\u00e9trica em quest\u00e3o. Suponha, inicialmente, que a raz\u00e3o … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nSejam [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex], [tex]c[\/tex] e [tex]d[\/tex] quatro n\u00fameros em progress\u00e3o geom\u00e9trica, nessa ordem.
\nProve que [tex](b – c)^2 + (c – a)^2 + (d – b)^2 = (a – d)^2[\/tex].<\/p>\n
\nSeja [tex]q[\/tex] a raz\u00e3o da progress\u00e3o geom\u00e9trica em quest\u00e3o.
\nSuponha, inicialmente, que a raz\u00e3o [tex]q[\/tex] e o primeiro termo [tex]a[\/tex] s\u00e3o n\u00e3o nulos; assim, da defini\u00e7\u00e3o de progress\u00e3o geom\u00e9trica temos que:
\n[tex]\\qquad q = \\dfrac{b}{a} = \\dfrac{c}{b} = \\dfrac{d}{c}[\/tex].
\nIgualando duas a duas essas fra\u00e7\u00f5es, obtemos [tex]\\boxed{b^2 = ac}[\/tex]; [tex]\\boxed{c^2 = bd}[\/tex] e [tex]\\boxed{bc = ad}. \\quad \\textcolor{#800000}{^{(*)}}[\/tex]
\nPartindo da express\u00e3o [tex](b – c)^2 + (c – a)^2 + (d – b)^2[\/tex] obtemos:<\/p>\n
\n&= b^2 – 2ad + c^2 + c^2 – 2b^2 + a^2 + d^2 – 2c^2 + b^2\\\\
\n&= – 2ad + a^2 + d^2\\\\
\n&= (a – d)^2 \\end{align*}[\/tex]<\/p>\n
\n [tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(b – c)^2 + (c – a)^2 + (d – b)^2 = (a – d)^2$}[\/tex].<\/p>\n
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