{"id":8883,"date":"2013-08-31T23:35:37","date_gmt":"2013-09-01T02:35:37","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=8883"},"modified":"2023-01-03T02:09:14","modified_gmt":"2023-01-03T05:09:14","slug":"desafio-equacao","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-equacao\/","title":{"rendered":".Desafio: Uma equa\u00e7\u00e3o"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/strong><\/p>\n

\n

Resolva a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2+\\dfrac{x^2}{(x+1)^2}=3[\/tex], sabendo que [tex]x \\in \\mathbb{R}[\/tex].<\/p>\n

\"explicador_p\"
\n
\nAten\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\nA linguagem e as ferramentas de divisibilidade n\u00e3o s\u00e3o adequadas para este problema, uma vez que a equa\u00e7\u00e3o deve ser resolvida no conjunto dos n\u00fameros reais e n\u00e3o no conjunto dos n\u00fameros inteiros.<\/span><\/p>\n

 \n<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/strong><\/p>\n

\nObserve que, de [tex]x^2+\\dfrac{x^2}{(x+1)^2}=3[\/tex], segue que:
\n 
\n[tex]\\qquad x^2\\left(1+\\dfrac{1}{(x+1)^2}\\right)=3[\/tex]
\n 
\n[tex]\\qquad x^2\\left(\\dfrac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}\\right)=3[\/tex]
\n 
\n[tex]\\qquad \\dfrac{x^4+x^2(x+1)\\cdot2}{(x+1)(x+1)}=3[\/tex]
\n 
\n[tex]\\qquad x^4+2x^2(x+1)=3(x+1)(x+1)=3(x+1)^2[\/tex].      (I)<\/span>
\n 
\nPor outro lado,
\n 
\n[tex]x^4+2x^2(x+1)+ (x+1)^2=x^4+2x^3+3x^2+2x+1=(x^2+x+1)^2[\/tex].      (II)<\/span>
\n 
\nAssim, por (I)<\/span> e por (II)<\/span> segue que:
\n 
\n[tex]\\quad (x^2+x+1)^2\\stackrel{ \\textcolor{#FF0000}{\\small{(II)}}}{=} x^4+2x^2(x+1)+ (x+1)^2=\\left[ x^4+2x^2(x+1) \\right]+ (x+1)^2\\stackrel{ \\textcolor{#FF0000}{\\small{(I)}}}{=} \\\\
\n\\quad \\stackrel{ \\textcolor{#FF0000}{\\small{(I)}}}{=} \\left[3(x+1)^2 \\right]+(x+1)^2=4(x+1)^2\\,.[\/tex]
\n 
\nLogo, [tex](x^2+x+1)^2=4(x+1)^2[\/tex], donde [tex]\\sqrt{(x^2+x+1)^2}=\\sqrt{4(x+1)^2}[\/tex], ou ainda, [tex]\\left|(x^2+x+1)\\right|=\\left|2(x+1)\\right|[\/tex] (*)<\/span>
\n 
\nDe [tex]\\left|(x^2+x+1)\\right|=\\left|2(x+1)\\right|[\/tex], segue que [tex]x^2+x+1=\\pm2(x+1)[\/tex], ou seja, temos:
\n [tex]\\qquad \\qquad \\boxed{x^2+x+1=2(x+1)}\\;[\/tex] ou [tex]\\;\\boxed{x^2+x+1=-2(x+1)}\\;.[\/tex]
\n 
\nPelo at\u00e9 aqui exposto, os valores procurados para o n\u00famero real [tex]x[\/tex] satisfazem a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2+x+1=2(x+1)[\/tex] ou a equa\u00e7\u00e3o [tex]x^2+x+1=-2(x+1)[\/tex]. Mas essas equa\u00e7\u00f5es s\u00e3o, respectivamente, equivalentes a [tex]x^2-x-1=0~[\/tex] e [tex]~x^2+3x+3=0[\/tex]; assim, vamos calcular as ra\u00edzes reais<\/strong> dessas duas equa\u00e7\u00f5es do segundo grau!
\n Observe que:<\/p>\n