{"id":88618,"date":"2017-11-18T13:48:55","date_gmt":"2017-11-18T15:48:55","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=88618"},"modified":"2023-04-14T02:33:27","modified_gmt":"2023-04-14T05:33:27","slug":"problema-conhecendo-pessoas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-conhecendo-pessoas\/","title":{"rendered":".Problema: Conhecendo pessoas"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Problema<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Em um encontro de trinta pessoas, existem vinte pessoas conhecidas entre si e dez pessoas que n\u00e3o conhecem qualquer pessoa do encontro. Duas pessoas que se conhecem cumprimentam-se com um abra\u00e7o, enquanto duas pessoas que n\u00e3o se conhecem cumprimentam-se com um aperto de m\u00e3os.<br \/>\n<strong>Quantos apertos de m\u00e3os ocorrer\u00e3o neste encontro?<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 1<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicada a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<ul>\n<li>Primeiramente veja que ocorrer\u00e3o [tex]\\boxed{\\binom{30}{2}=435}[\/tex] abra\u00e7os ou apertos de m\u00e3o, pois essas s\u00e3o todas as combina\u00e7\u00f5es poss\u00edveis das pessoas do encontro. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Assim, se descobrirmos quantos abra\u00e7os aconteceram, podemos descontar esse n\u00famero do total de [tex]435[\/tex] abra\u00e7os ou apertos de m\u00e3o para obtermos o n\u00famero de apertos de m\u00e3o. <\/p>\n<ul>\n<li>Veja que, dentre as pessoas que estavam no evento, apenas as que se conhecem se abra\u00e7am. Assim, o n\u00famero de abra\u00e7os poss\u00edveis \u00e9 dado por [tex]\\boxed{\\binom{20}{2}=190}[\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Com isso, o n\u00famero de apertos de m\u00e3o foi [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$435-190 = 245$} \\, [\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 2<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicada a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Se s\u00e3o [tex]30[\/tex] pessoas e uma cumprimentar\u00e1 a outra de alguma forma, ocorrer\u00e3o [tex](30\\cdot29)\\div2=435[\/tex] cumprimentos, j\u00e1 que cada uma das [tex]30[\/tex] pessoas cumprimentar\u00e1 as outras [tex]29[\/tex]; s\u00f3 que temos que dividir por [tex]2[\/tex], pois o mesmo aperto de m\u00e3o\/abra\u00e7o est\u00e1 sendo contado duas vezes (por exemplo, se <strong>A<\/strong> abra\u00e7a <strong>B<\/strong>, <strong>B<\/strong> abra\u00e7a <strong>A<\/strong>).<br \/>\nE, se [tex]20[\/tex] pessoas se conhecem entre si, haver\u00e1 [tex](20\\cdot19)\\div2=190[\/tex] abra\u00e7os, o resto ser\u00e3o todos apertos de m\u00e3o.<br \/>\nLogo conclu\u00edmos que ocorrer\u00e3o [tex]435-190=245[\/tex] apertos de m\u00e3o.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM <strong>1uik<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 3<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicada a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>No total, h\u00e1 trinta pessoas. Como vinte pessoas se conhecem entre si, elas v\u00e3o se cumprimentar com abra\u00e7os. As outras dez n\u00e3o conhecem ningu\u00e9m, ent\u00e3o ter\u00e3o que cumprimentar a todos com apertos de m\u00e3o. Tendo em mente esse racioc\u00ednio, analisemos o que ocorrer\u00e1 com as dez pessoas:<\/p>\n<ul>\n<li>a primeira pessoa ir\u00e1 cumprimentar [tex]29[\/tex] pessoas com apertos de m\u00e3o;<\/li>\n<li>a segunda ir\u00e1 cumprimentar mais [tex]28[\/tex] pessoas, pois seu cumprimento com a primeira pessoa j\u00e1 est\u00e1 inclu\u00eddo no primeiro c\u00e1lculo;<\/li>\n<li>a terceira pessoa ir\u00e1 cumprimentar mais [tex]27[\/tex] pessoas, pois os cumprimentos com as duas primeiras pessoas j\u00e1 est\u00e3o inclu\u00eddos nos dois primeiros c\u00e1lculos;<\/li>\n<li>e assim por diante, at\u00e9 que chegue a d\u00e9cima pessoa. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Logo, conclu\u00edmos que o n\u00famero de apertos de m\u00e3o ocorridos neste encontro \u00e9 dado por:<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{29+28+27+26+25+24+23+22+21+20=245}[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM <strong>DELTONAUTAS <\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"g3\">\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: <strong>1uik , DELTONAUTAS <\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema Em um encontro de trinta pessoas, existem vinte pessoas conhecidas entre si e dez pessoas que n\u00e3o conhecem qualquer pessoa do encontro. Duas pessoas que se conhecem cumprimentam-se com um abra\u00e7o, enquanto duas pessoas que n\u00e3o se conhecem cumprimentam-se com um aperto de m\u00e3os. Quantos apertos de m\u00e3os ocorrer\u00e3o neste encontro? 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