Problema \n (UFPA-2005<\/strong> Modificada) A Figura 2 abaixo \u00e9 comumente reconhecida como um \u201cfractal\u201d (onde pequenas partes s\u00e3o c\u00f3pias reduzidas do todo) e \u00e9 constitu\u00edda por uma infinidade de c\u00edrculos de raios cada vez menores. Sua constru\u00e7\u00e3o \u00e9 dada a seguir. Esse processo pode ser repetido indefinidamente, gerando c\u00edrculos cada vez menores e formando a Figura 2. \n (a)<\/strong> Mostre que o raio do c\u00edrculo inscrito num tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero \u00e9 igual a um ter\u00e7o da altura do tri\u00e2ngulo. \n<\/div>\n \n Lembretes <\/p>\n \n Alguns resultados de geometria plana: \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n \n [tex]\\qquad h^2 = L^2 – \\dfrac{L^2}{4}[\/tex]<\/p>\n \n [tex]\\qquad h^2 = \\dfrac{3L^2}{4}[\/tex]<\/p>\n \n [tex]\\qquad h = \\dfrac{L \\sqrt{3}}{2}[\/tex]. [tex] \\qquad \\color{#800000}{(*)}[\/tex]<\/p>\n \n Perceba que os tri\u00e2ngulos [tex]BOH_2[\/tex] e [tex]BCH_1[\/tex] s\u00e3o semelhantes (pelo caso AA). Sendo [tex]r[\/tex] a medida do raio da circunfer\u00eancia inscrita, temos que [tex]\\dfrac{r}{\\dfrac{L}{2}} = \\dfrac{\\dfrac{L}{2}}{h}[\/tex], ou seja, [tex] r = \\dfrac{\\dfrac{L^2}{4}}{h}[\/tex]. \n (b)<\/strong> Seja [tex]A_n[\/tex] a \u00e1rea de um c\u00edrculo obtido em cada etapa [tex]n[\/tex] da constru\u00e7\u00e3o. Particularmente, \n Os tri\u00e2ngulos [tex]ADE[\/tex], [tex]BFG[\/tex] e [tex]CHI[\/tex] s\u00e3o semelhantes ao tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], j\u00e1 que, sendo obtidos por paralelas aos lados do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], ter\u00e3o os mesmos \u00e2ngulos dele. Podemos generalizar, afirmando que um c\u00edrculo obtido na etapa [tex]n + 1[\/tex] ter\u00e1 sempre [tex]\\dfrac{1}{9}[\/tex] da \u00e1rea de um c\u00edrculo obtido na etapa [tex]n[\/tex]. Ou seja, [tex](A_1,\\, A_2,\\, \\ldots\\,,A_n,\\,\\ldots)[\/tex] \u00e9 uma Progress\u00e3o Geom\u00e9trica de raz\u00e3o [tex]\\dfrac{1}{9}[\/tex].<\/p>\n \n (c)<\/strong> Seja [tex]C_n[\/tex] o n\u00famero de c\u00edrculos congruentes gerados na etapa [tex]n[\/tex].<\/p>\n Perceba que cada c\u00edrculo de uma etapa gera tr\u00eas c\u00edrculos na etapa seguinte, ou seja, [tex](C_1,\\, C_2,\\, \\ldots\\,,C_n,\\,\\ldots)[\/tex] \u00e9 uma Progress\u00e3o Geom\u00e9trica de raz\u00e3o [tex]3[\/tex].<\/p>\n Seja [tex]S_n[\/tex] a soma das \u00e1reas dos c\u00edrculos congruentes gerados na etapa [tex]n[\/tex].<\/p>\n Temos [tex]S_n = C_n \\cdot A_n = 3 \\cdot C_{n-1} \\cdot \\dfrac{1}{9} \\cdot A_{n-1} = \\dfrac{1}{3} \\cdot S_{n-1}[\/tex], ou seja, [tex](S_1,\\, S_2,\\, \\ldots\\,,S_n,\\,\\ldots)[\/tex] \u00e9 uma Progress\u00e3o Geom\u00e9trica de raz\u00e3o [tex]\\dfrac{1}{3}[\/tex].<\/p>\n Portanto, a soma das \u00e1reas dos c\u00edrculos gerados na etapa [tex]n[\/tex] ser\u00e1 obtida pela f\u00f3rmula do termo geral da PG acima:<\/p>\n \n [tex]\\qquad S_n = S_1 \\cdot \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{n-1} = \\dfrac{\\pi}{12 \\cdot 3^{n-1}}L^2[\/tex]<\/p>\n \n (d)<\/strong> Basta utilizar a f\u00f3rmula da soma dos termos de uma PG infinita cuja raz\u00e3o tem m\u00f3dulo menor do que [tex]1[\/tex]:<\/p>\n \n [tex]\\qquad S_1 + S_2 + \\ldots = \\dfrac{S_1}{1 – \\dfrac{1}{3}} = \\dfrac{3 S_1}{2} = \\dfrac{3 A_1}{2} = \\dfrac{3}{2} \\cdot \\dfrac{\\pi}{12} L^2 = \\dfrac{\\pi}{8} L^2.[\/tex]<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) (UFPA-2005 Modificada) A Figura 2 abaixo \u00e9 comumente reconhecida como um \u201cfractal\u201d (onde pequenas partes s\u00e3o c\u00f3pias reduzidas do todo) e \u00e9 constitu\u00edda por uma infinidade de c\u00edrculos de raios cada vez menores. Sua constru\u00e7\u00e3o \u00e9 dada a seguir. A partir de um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\n
\nA partir de um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero [tex]ABC[\/tex], cujo lado tem comprimento [tex]L[\/tex], considere a circunfer\u00eancia nele inscrita. <\/p>\n\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/11\/Eduardo_11.png\")
<\/p>\n
\n(b)<\/strong> Calcule a \u00e1rea do primeiro c\u00edrculo constru\u00eddo e a \u00e1rea de um dos c\u00edrculos menores da Figura 1, em fun\u00e7\u00e3o do lado [tex]L[\/tex] do tri\u00e2ngulo inicial.
\n(c)<\/strong> Determine a soma das \u00e1reas dos c\u00edrculos congruentes gerados na etapa [tex]n[\/tex].
\n(d)<\/strong> As somas das \u00e1reas dos c\u00edrculos congruentes (de mesmo raio), em ordem decrescente, formam uma progress\u00e3o geom\u00e9trica. Calcule a soma dos infinitos termos dessa progress\u00e3o.<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n[tex] \\color{#800000}{(i)}[\/tex] Dados um ponto e uma reta, existe apenas uma reta que passa pelo ponto e \u00e9 perpendicular \u00e0 reta dada.
\n[tex] \\color{#800000}{(ii)}[\/tex] O raio tra\u00e7ado at\u00e9 o ponto de tang\u00eancia \u00e9 perpendicular \u00e0 reta tangente.
\n[tex] \\color{#800000}{(iii)}[\/tex] Em um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero, a mediana, a altura e a bissetriz interna relativas ao mesmo lado coincidem.\n<\/p><\/div>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/11\/Eduardo_13.png\")
(a) <\/strong> Considere um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero [tex]ABC[\/tex] de lado medindo [tex]L[\/tex]. Na figura ao lado, mostramos parte da circunfer\u00eancia inscrita a esse tri\u00e2ngulo, bem como o centro [tex]O[\/tex] e dois pontos de tang\u00eancia [tex]H_2[\/tex] e [tex]H_3[\/tex] da circunfer\u00eancia com os lados [tex]\\overline{BC}[\/tex] e [tex]\\overline{AB}[\/tex], respectivamente. O ponto [tex]H_1[\/tex] \u00e9 a interse\u00e7\u00e3o da semirreta [tex]BO[\/tex] com [tex]\\overline{AC}[\/tex].
\nDevido a [tex] \\color{#800000}{(ii)}[\/tex] temos que [tex]B\\hat{H_2}O[\/tex] e [tex]B\\hat{H_3}O[\/tex] s\u00e3o \u00e2ngulos retos. Deste modo os tri\u00e2ngulos [tex]BH_2O[\/tex] e [tex]BH_3O[\/tex] s\u00e3o congruentes (tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos que possuem ordenadamente congruentes a hipotenusa e um cateto), e conclu\u00edmos que [tex]O\\hat{B}H_2 \\cong O\\hat{B}H_3[\/tex], ou seja, [tex]BO[\/tex] \u00e9 bissetriz de [tex]A\\hat{B}C[\/tex].
\nAssim, [tex]\\overline{BH_1}[\/tex] \u00e9 bissetriz interna do tri\u00e2ngulo e, por [tex] \\color{#800000}{(iii)}[\/tex], tamb\u00e9m \u00e9 mediana e altura. Sendo [tex]\\overline{BH_1}[\/tex] mediana, conclu\u00edmos que [tex]H_1[\/tex] \u00e9 ponto m\u00e9dio de [tex]\\overline {AC}[\/tex].
\nSendo [tex]\\overline{BH_1}[\/tex] altura, temos que [tex]H_1[\/tex] \u00e9 o ponto de tang\u00eancia da circunfer\u00eancia com [tex]\\overline{AC}[\/tex], caso contr\u00e1rio ter\u00edamos duas perpendiculares \u00e0 reta [tex]AC[\/tex] tra\u00e7ada por [tex]O[\/tex] (contrariando [tex] \\color{#800000}{(i)}[\/tex]).
\nAssim, num tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero a circunfer\u00eancia inscrita tangencia cada lado no ponto m\u00e9dio.
\nIndicando por [tex]h[\/tex] a medida da altura do tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero e aplicando o teorema de Pit\u00e1goras no tri\u00e2ngulo [tex]ABH_1[\/tex], segue que
\n[tex]\\qquad L^2 = h^2 + \\left(\\dfrac{L}{2}\\right)^2[\/tex]<\/p>\n
\nAssim, usando [tex] \\color{#800000}{(*)}[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad r=\\dfrac{\\dfrac{L^2}{4}}{h} \\stackrel{\\textcolor{#800000}{(*)}}{=} \\dfrac{\\dfrac{L^2}{4}}{\\dfrac{L \\sqrt{3}}{2}} = \\dfrac{L}{2\\sqrt{3}}=\\dfrac{L\\sqrt{3}}{6} \\stackrel{\\textcolor{#800000}{(*)}}{=} \\dfrac{h}{3}[\/tex].<\/p>\n
\n[tex]\\qquad A_1 = \\pi \\cdot r^2 = \\pi \\cdot \\left(\\dfrac{L\\sqrt{3}}{6}\\right)^2 = \\dfrac{3 \\pi L^2}{36} = \\dfrac{\\pi}{12} L^2[\/tex].<\/p>\n
\nPerceba pelo item (a)<\/strong> que a altura dos tri\u00e2ngulos pequenos ser\u00e1 [tex]h – 2r = h – \\dfrac{2h}{3} = \\dfrac{h}{3}[\/tex]. Assim, a raz\u00e3o de semelhan\u00e7a entre os tri\u00e2ngulos ser\u00e1 dada pela raz\u00e3o das alturas que \u00e9 [tex]\\dfrac{1}{3}[\/tex] e, portanto, os c\u00edrculos menores da Figura 1 t\u00eam como raio um ter\u00e7o do raio do c\u00edrculo maior. Com isso:
\n[tex]\\qquad A_2 = \\pi \\cdot \\left(\\dfrac{r}{3}\\right)^2 = \\dfrac{1}{9} \\cdot A_1 = \\dfrac{\\pi}{108} L^2[\/tex]<\/p>\n
\n