{"id":87685,"date":"2017-10-31T17:46:56","date_gmt":"2017-10-31T19:46:56","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=87685"},"modified":"2024-11-26T23:28:06","modified_gmt":"2024-11-27T02:28:06","slug":"uma-maneira-diferente-de-resolver-problemas-do-1-grau","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/uma-maneira-diferente-de-resolver-problemas-do-1-grau\/","title":{"rendered":".Sala de Estudo: Uma maneira diferente de resolver problemas do 1\u00b0 grau"},"content":{"rendered":"

✏ Link da Sala para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Uma maneira diferente de resolver problemas do 1\u00b0 grau<\/p>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

J\u00e1 parou para pensar em alguma maneira de resolver uma equa\u00e7\u00e3o do [tex]1^\\circ[\/tex] grau com uma inc\u00f3gnita de uma forma n\u00e3o convencional?<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Pois \u00e9! Essa pergunta pode ser intrigante do ponto de vista matem\u00e1tico quando alunos que ainda n\u00e3o come\u00e7aram a estudar equa\u00e7\u00f5es se prop\u00f5em a resolver determinados problemas de matem\u00e1tica.
\nMas ser\u00e1 que existe um m\u00e9todo que permita a modelagem de um problema sem a necessidade de equacionar a situa\u00e7\u00e3o que gerou esse problema?
\nA resposta \u00e9 sim e vamos aprender como fazer isso nesta Sala de Estudos. <\/p>\n

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Ser\u00e1 que \u00e9 poss\u00edvel resolver o problema
\n Determine cinco n\u00fameros naturais pares consecutivos cuja soma seja 80.<\/strong><\/span>
\nsem usar equa\u00e7\u00f5es?<\/p>\n<\/td>\n

\"carinha11\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

N\u00e3o s\u00f3 \u00e9 poss\u00edvel como vamos resolv\u00ea-lo. Mas, para que todos entendam direitinho o m\u00e9todo que vamos utilizar, come\u00e7aremos com situa\u00e7\u00f5es mais simples.
\nAcompanhem com aten\u00e7\u00e3o a discuss\u00e3o que se segue. Em cada situa\u00e7\u00e3o apresentada, resolveremos o problema utilizando o nosso m\u00e9todo alternativo e, em seguida, resolveremos o problema utilizando equa\u00e7\u00f5es, para que quem sabe utiliz\u00e1-las possa conferir suas solu\u00e7\u00f5es.\n<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

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Situa\u00e7\u00e3o 1<\/strong> <\/p>\n

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\nA soma de dois n\u00fameros naturais \u00e9 [tex]50[\/tex], sendo um deles [tex]10[\/tex] unidades maior que o outro. Calcule os dois n\u00fameros. <\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n
\nBom, o procedimento proposto \u00e9 simples. <\/p>\n
    \n
  • Como a soma dos dois n\u00fameros \u00e9 [tex]50[\/tex], desenhe um quadrado e dentro dele coloque o [tex]50[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

    \"\"<\/p>\n

      \n
    • Agora, como queremos dois n\u00fameros e um tem [tex]10[\/tex] unidades a mais que o outro, chamamos um deles de "quadradinho", o segundo de "quadradinho mais [tex]10[\/tex]" e montamos o seguinte esquema para distribuirmos as [tex]50[\/tex] unidades:<\/li>\n<\/ul>\n

      \"\"<\/p>\n

        \n
      • A princ\u00edpio, poder\u00edamos pensar que ter\u00edamos que distribuir [tex]50[\/tex] unidades entre os dois quadradinhos; mas perceba que [tex]10[\/tex] das [tex]50[\/tex] unidades a serem distribu\u00eddas j\u00e1 est\u00e3o, digamos, comprometidas.
        \nAnalisando o esquema acima, observamos que podemos descontar [tex]10[\/tex] unidades das [tex]50[\/tex] iniciais, [tex]50-10=40, \\, [\/tex] e dividir as unidades restantes entre os dois quadradinhos, [tex]40\\div 2=20 \\, [\/tex].
        \nPronto, esse resultado corresponde ao valor do quadradinho<\/strong>. <\/li>\n<\/ul>\n
          \n
        • Obtemos, ent\u00e3o, os dois n\u00fameros escrevendo:<\/li>\n<\/ul>\n

          \"\"
          \nPortanto, os n\u00fameros s\u00e3o [tex]20[\/tex] e [tex]30[\/tex].<\/p>\n

          (Observe que o esquema completo permite facilmente verificarmos que as condi\u00e7\u00f5es do problema foram satisfeitas.)<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

          \n

          \n <\/p>\n
          \n
          \n

          \n

            \n
          • A primeira coisa que algu\u00e9m que saiba trabalhar com equa\u00e7\u00f5es faz quando se depara com essa situa\u00e7\u00e3o \u00e9 chamar um dos n\u00fameros de [tex] \\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x$}[\/tex] e o outro de [tex]\\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x+10$}[\/tex]. <\/li>\n
          • Assim, equacionando a situa\u00e7\u00e3o, obtemos [tex] \\, \\boxed{x+(x+10)=50}[\/tex].<\/li>\n
          • A segunda etapa \u00e9 resolver a equa\u00e7\u00e3o obtida:
            \n[tex]\\qquad x+(x+10)=50[\/tex]
            \n[tex]\\qquad 2x=50-10[\/tex]
            \n[tex]\\qquad 2x=40[\/tex]
            \n[tex]\\qquad x=20[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

            Dessa forma, os n\u00fameros pedidos s\u00e3o [tex]20[\/tex] e [tex]30[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

            \n<\/div>\n

            \n\n\n
            \"\"<\/td>\n\n

            Vamos ver outra situa\u00e7\u00e3o?<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

            \n

            \n

            Situa\u00e7\u00e3o 2<\/strong> <\/p>\n

            \n

            \n

            \nFrancimar e Noemi colecionaram as figurinhas do \u00e1lbum do campeonato brasileiro de futebol de [tex]2016[\/tex]. Ao final do ano, os dois tinham juntos [tex]296[\/tex] figurinhas, sendo que Noemi possu\u00eda o dobro do n\u00famero de figuras que Francimar possu\u00eda, menos [tex]40[\/tex].
            \nQuantas figurinhas cada um colecionou? <\/p>\n

            \n

            \n <\/p>\n
            \n
            \n

            \n

              \n
            • Uma vez que Francimar e Noemi possuem juntos [tex]296[\/tex] figurinhas, desenhamos um quadrado e dentro dele colocamos o n\u00famero [tex]296[\/tex], que \u00e9 a quantidade de figurinhas que iremos distribuir.<\/li>\n<\/ul>\n

              \"\"<\/p>\n

                \n
              • Digamos que o n\u00famero de figurinhas de Francimar seja representado por um "quadradinho", ent\u00e3o a quantidade de figurinhas que tem Noemi ser\u00e1 representada por "dois quadradinhos menos [tex]40[\/tex]" e, assim, montamos o seguinte esquema:<\/li>\n<\/ul>\n

                \"\"<\/p>\n

                  \n
                • Observe que n\u00e3o podemos distribuir o total de [tex]296[\/tex] figurinhas igualmente entre os tr\u00eas quadradinhos pequenos (um do Francimar e dois da Noemi), pois Noemi n\u00e3o tem exatamente o dobro de figurinhas que tem o Francimar: faltam-lhe [tex]40[\/tex] figurinhas para que ela tenha o dobro.
                  \nAssim, vamos somar [tex]40[\/tex] figurinhas ao total de [tex]296,[\/tex] [tex]40+296=336, \\, [\/tex] e dividir esse resultado por [tex]3[\/tex], obtendo [tex]336\\div 3=112.[\/tex] (Note que, ap\u00f3s a distribui\u00e7\u00e3o das figurinhas nos quadradinhos, as [tex]40[\/tex] figurinhas acrescentadas ser\u00e3o retiradas da cota de figurinhas da Noemi.)<\/span>
                  \nO resultado da divis\u00e3o corresponde, ent\u00e3o, ao valor do quadradinho.<\/strong> <\/li>\n<\/ul>\n
                    \n
                  • Obtemos a quantidade de figurinhas do Francimar e da Noemi escrevendo:<\/li>\n<\/ul>\n

                    \"\"
                    \nPortanto, Francimar colecionou [tex]112[\/tex] figurinhas e, Noemi, [tex]184,[\/tex] totalizando as [tex]296[\/tex] figurinhas.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

                    \n

                    \n <\/p>\n
                    \n
                    \n

                    \n

                      \n
                    • Considere que Francimar tinha [tex]\\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x$}[\/tex] figurinhas; ent\u00e3o, Noemi tinha [tex]\\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$2x-40$}[\/tex] figurinhas. <\/li>\n
                    • Equacionando a situa\u00e7\u00e3o, temos que [tex]\\boxed{x+(2x-40)=296}[\/tex].<\/li>\n
                    • Vamos ent\u00e3o resolver a equa\u00e7\u00e3o:
                      \n[tex]\\qquad x+(2x-40)=296[\/tex]
                      \n [tex]\\qquad 3x=296+40[\/tex]
                      \n [tex]\\qquad 3x=336[\/tex]
                      \n [tex]\\qquad x=112.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n

                      Logo, Francimar tinha [tex]112[\/tex] figurinhas e, Noemi, [tex]2\\times 112-40=184 \\, [\/tex] figurinhas.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

                      \n<\/div>\n

                      \n\n\n
                      \"\"<\/td>\n\n

                      Vamos continuar exercitando!<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n\n
                      \n

                      O pr\u00f3ximo \u00e9 o meu problema…<\/p>\n<\/td>\n

                      		\"\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

                      \n

                      \n

                      Situa\u00e7\u00e3o 3<\/strong> <\/p>\n

                      \n

                      \n

                      \nA soma de cinco n\u00fameros consecutivos pares \u00e9 [tex]80[\/tex]. Determine os n\u00fameros. <\/p>\n

                      \n

                      \n <\/p>\n
                      \n
                      \n

                      \n

                        \n
                      • Como a soma dos cinco n\u00fameros pares e consecutivos \u00e9 [tex]80[\/tex], desenhamos um ret\u00e2ngulo e dentro dele colocamos o [tex]80[\/tex]: \u00e9 a quantidade de unidades que temos que distribuir.<\/li>\n<\/ul>\n

                        \"\"<\/p>\n

                          \n
                        • Os cinco n\u00fameros pares consecutivos ser\u00e3o "quadradinho", "quadradinho mais dois", "quadradinho mais quatro", "quadradinho mais seis", "quadradinho mais oito". O esquema para visualizar o problema e fazer a distribui\u00e7\u00e3o das [tex]80[\/tex] unidades fica assim:<\/li>\n<\/ul>\n

                          \"\"<\/p>\n

                            \n
                          • Agora, temos que distribuir as [tex]80[\/tex] unidades. Mas note, pelo esqueminha acima, que [tex]2+4+6+8=20[\/tex] unidades j\u00e1 t\u00eam “endere\u00e7o certo”; assim, subtra\u00edmos [tex]20[\/tex] unidades das [tex]80[\/tex], [tex]80-20=60[\/tex], e dividimos, ent\u00e3o, esse resultado pela quantidade de quadradinhos pequenos que \u00e9 [tex]5[\/tex], [tex]60 \\div 5=12[\/tex].
                            \nO resultado corresponde, portanto, ao valor de cada quadradinho. <\/strong><\/li>\n<\/ul>\n
                              \n
                            • Substituindo, ent\u00e3o, as unidades correspondentes de cada quadradinho, obtemos o resultado final:<\/li>\n<\/ul>\n

                              \"\"
                              \nOs cinco n\u00fameros pedidos s\u00e3o [tex]12, 14, 16, 18, 20.[\/tex]<\/p>\n

                              \n

                              \n

                              \n

                              Quem sabe trabalhar com P.A.<\/strong> – progress\u00e3o aritm\u00e9tica – pode tamb\u00e9m utilizar esses esqueminhas para solucionar este problema. Para isso, como temos um n\u00famero \u00edmpar de termos (cinco termos), chamamos o termo central de "quadradinho" e os demais termos seriam "quadradinho menos dois", "quadradinho menos quatro", "quadradinho mais dois" e "quadradinho mais quatro". Dessa forma, podemos utilizar o seguinte esquema fazer a distribui\u00e7\u00e3o das [tex]80[\/tex] unidades:
                              \n\"\"
                              \nComo os n\u00fameros a serem somados e subtra\u00eddos antes de distribuirmos as [tex]80[\/tex] unidades se anulam, o valor do quadradinho seria [tex]80 \\div 5=16[\/tex], o que nos fornece o seguinte esquema da solu\u00e7\u00e3o final:
                              \n<\/p>\n

                              \n

                              \n

                              \n\"\"<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

                              \n

                              \n <\/p>\n
                              \n
                              \n

                              \n

                                \n
                              • Chamando o menor dos n\u00fameros de [tex]\\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x$}[\/tex], os demais ser\u00e3o [tex]\\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x+2$} \\, , \\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x+4$} \\, , \\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x+6$} \\, , \\fcolorbox{black}{#b8c7d9}{$x+8$} \\, .[\/tex]<\/li>\n
                              • Equacionando a situa\u00e7\u00e3o, obtemos que [tex]\\boxed{x+(x+2)+(x+4)+(x+6)+(x+8)=80}.[\/tex]<\/li>\n
                              • Resolvendo a equa\u00e7\u00e3o, segue que:
                                \n[tex]\\qquad x+(x+2)+(x+4)+(x+6)+(x+8)=80[\/tex]
                                \n [tex]\\qquad 5x=80-20[\/tex]
                                \n [tex]\\qquad 5x=60[\/tex]
                                \n [tex]\\qquad x=12.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n

                                Assim, os cinco n\u00fameros em quest\u00e3o s\u00e3o [tex]12, 14, 16, 18, 20.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

                                \n<\/div>\n

                                \n\n\n
                                \"\"<\/td>\n\n

                                Bom, j\u00e1 deu para entender que o processo \u00e9 realmente muito \u00fatil para quem est\u00e1 iniciando o estudo das equa\u00e7\u00f5es. Mas existem problemas nos quais \u00e9 informada a diferen\u00e7a em vez da soma dos dois n\u00fameros.
                                \nE como proceder nesse caso? Seria da mesma forma que na soma? A resposta \u00e9 n\u00e3o! O processo \u00e9 muito parecido e \u00e9 t\u00e3o divertido quanto o da soma. Vamos ver como funciona?<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

                                \n

                                \n

                                Situa\u00e7\u00e3o 4<\/strong> <\/p>\n

                                \n

                                \n

                                \nA diferen\u00e7a de dois n\u00fameros naturais \u00e9 [tex]80[\/tex] e um dos n\u00fameros \u00e9 o triplo do outro. Calcule os dois n\u00fameros. <\/p>\n

                                \n

                                \n <\/p>\n
                                \n
                                \n

                                \n