{"id":86919,"date":"2017-10-08T00:23:08","date_gmt":"2017-10-08T03:23:08","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=86919"},"modified":"2023-05-24T00:15:14","modified_gmt":"2023-05-24T03:15:14","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-uma-sequencia-compriiiiiiiiida","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-uma-sequencia-compriiiiiiiiida\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Uma sequ\u00eancia compriiiiiiiiida&#8230;"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=191686\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#915F6D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F.) <span style=\"font-weight: normal;\"> (N\u00edvel: Dif\u00edcil)<\/span><\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n(<strong>OMRN2011<\/strong>-adaptado) Ao escrevermos em sequ\u00eancia e consecutivamente os m\u00faltiplos naturais de [tex]23[\/tex], sem espa\u00e7os entre eles e come\u00e7ando com [tex]23[\/tex], obtemos uma sequ\u00eancia cujos primeiros termos aparecem a seguir.<\/p>\n<p> [tex]\\qquad \\qquad \\,2\\,3\\,4\\,6\\,6\\,9\\,9\\,2\\,1\\,1\\,5\\,1\\,3\\,8\\,1\\,6\\,1 \\cdots[\/tex]<\/p>\n<p><b>Qual \u00e9 o d\u00edgito que ocupar\u00e1 a posi\u00e7\u00e3o [tex]1500[\/tex] na sequ\u00eancia que escrevemos?<\/b><\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:35px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<ul>\n<li>Perceba que temos apenas quatro m\u00faltiplos de [tex]23[\/tex] com dois d\u00edgitos:<br \/>\n\t[tex]\\qquad  \\boxed{23}= 23 \\times 1 [\/tex] ;  [tex]\\boxed{46}= 23 \\times 2 [\/tex] ;  [tex]\\boxed{69}= 23 \\times 3 [\/tex] ;  [tex]\\boxed{92}= 23 \\times 4 [\/tex] .<br \/>\nAssim, ao escrevermos os quatro primeiros m\u00faltiplos de [tex]23[\/tex], escreveremos os [tex]4 \\times 2=8[\/tex] primeiros termos da sequ\u00eancia.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>Prosseguindo, podemos observar que existem [tex]39[\/tex] m\u00faltiplos de [tex]23[\/tex] com tr\u00eas d\u00edgitos:<br \/>\n\t[tex]\\qquad \\boxed{115}= 23 \\times 5 [\/tex] ; [tex]\\boxed{138}= 23 \\times 6[\/tex] ;  [tex]\\boxed{161}= 23 \\times 7 ; \\cdots; \\boxed{989}= 23 \\times 43 [\/tex] .<br \/>\nAgora, ao escrevermos esses trinta e nove m\u00faltiplos de [tex]23[\/tex], escreveremos os pr\u00f3ximos [tex]39 \\times 3=117[\/tex] termos da sequ\u00eancia.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Com isso, de [tex]23[\/tex] a [tex]989\\, [\/tex], teremos escrito [tex]8+117=125[\/tex] termos da sequ\u00eancia:<br \/>\n[tex]\\qquad   \\underbrace{23466992115138161 \\cdots 989}_{\\text{125 termos da sequ\u00eancia}}[\/tex]<br \/>\nAt\u00e9 agora, escrevemos [tex]125[\/tex] dos [tex]1500[\/tex] termos; assim, precisamos de mais [tex]1500-125=1375[\/tex] termos:<br \/>\n[tex]\\qquad   \\underbrace{23466992115138161 \\cdots 989}_{\\text{125 termos da sequ\u00eancia}}\\,\\underbrace{\\boxed{\\, }\\boxed{\\, }\\boxed{\\, }\\cdots\\boxed{\\, }}_{1375\\, termos}[\/tex].<br \/>\nQuantos m\u00faltiplos de [tex]23[\/tex] ser\u00e3o necess\u00e1rios para que seus algarismos preencham esses [tex]1375[\/tex] espa\u00e7os?<br \/>\nVejamos&#8230;<br \/>\nOs pr\u00f3ximos m\u00faltiplos de [tex]23[\/tex] ter\u00e3o quatro algarismos, ent\u00e3o vamos fazer a divis\u00e3o de [tex]1375[\/tex] por [tex]4[\/tex]:<\/p>\n<table style=\"border: 2px solid #FFFFFF; width:20%; height:auto;text-align:center;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\" align=\"center\" style=\"border-RIGHT: 2px solid \"> [tex]1375[\/tex]  <\/td>\n<td class=\"bf\"> [tex]4[\/tex] <\/td>\n<td style=\"border: 2px solid #FFFFFF\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"bf\" style=\"border: 2px solid #FFFFFF\">[tex]3[\/tex]  <\/td>\n<td class=\"bf\"  style=\"border-top: 2px solid \"> [tex]343[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>Assim, precisaremos de [tex]343[\/tex] m\u00faltiplos de [tex]23[\/tex] com quatro algarismos cada e ainda utilizaremos os tr\u00eas primeiros d\u00edgitos do pr\u00f3ximo m\u00faltiplo:<br \/>\n [tex] \\qquad   \\underbrace{23466992115138161 \\cdots 989}_{\\text{125 termos da sequ\u00eancia}}\\, \\underbrace{\\boxed{\\underline{\\, }\\, \\underline{\\, }\\, \\underline{\\, }\\, \\underline{\\, }}\\, \\boxed{\\underline{\\, }\\, \\underline{\\, }\\, \\underline{\\, }\\, \\underline{\\, }}\\, \\boxed{\\, \\underline{\\, }\\, \\underline{\\, }\\, \\underline{\\, }\\, \\underline{\\, }}\\ldots\\boxed{\\underline{\\, }\\, \\underline{\\, }\\, \\underline{\\, }\\, \\underline{\\, }}}_{343 \\text{ n\u00fameros com 4 algarismos}}\\, \\underline{\\, }\\underline{\\, }\\underline{\\, }[\/tex]<br \/>\nO nosso pr\u00f3ximo passo ser\u00e1 determinar quais s\u00e3o os m\u00faltiplos de [tex]23[\/tex] de quatro algarismos que ser\u00e3o utilizados.<br \/>\nO \u00faltimo m\u00faltiplo de [tex]23[\/tex] utilizado na sequ\u00eancia foi [tex]989,\\, [\/tex] e [tex]989= 23 \\times 43[\/tex]; ent\u00e3o, os pr\u00f3ximos ser\u00e3o:<\/p>\n<ul>\n<li> [tex]23 \\times (43+1)= 23 \\times 44=1012\\, \\, [\/tex] ; [tex]\\, \\, 23 \\times (43+2)= 23 \\times 45=1035\\, \\, [\/tex] e [tex]\\, \\, 23 \\times (43+3)= 23 \\times 46=1058[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>e os \u00faltimos m\u00faltiplos que utilizaremos ser\u00e3o:<\/p>\n<ul>\n<li> [tex]23 \\times (43+343)=23 \\times 386=8878\\, \\, [\/tex] e [tex]\\, \\, 23 \\times (43+344)=23 \\times 387=8901[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Observem o esqueminha:<br \/>\n[tex] \\qquad   \\underbrace{23466992115138161 \\cdots 989}_{\\text{125 termos da sequ\u00eancia}}\\, \\underbrace{\\, \\boxed{\\, 1012\\, }\\, }_{23 \\times (43+1)}\\, \\underbrace{\\, \\boxed{\\, 1035\\, }\\, }_{23 \\times (43+2)}\\, \\underbrace{\\, \\boxed{\\, 1058\\, }\\, }_{23 \\times (43+3)}\\cdots\\underbrace{\\, \\boxed{\\, 8878\\, }\\, }_{23 \\times (43+343)}890[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Portanto, o d\u00edgito que ocupar\u00e1 a posi\u00e7\u00e3o [tex]1500[\/tex] na sequ\u00eancia que formamos ser\u00e1 o [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$0$}\\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/Uma-sequ\u00eancia-compriiiiiiiiida.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Uma sequ\u00eancia compriiiiiiiiida.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F.) (N\u00edvel: Dif\u00edcil) (OMRN2011-adaptado) Ao escrevermos em sequ\u00eancia e consecutivamente os m\u00faltiplos naturais de [tex]23[\/tex], sem espa\u00e7os entre eles e come\u00e7ando com [tex]23[\/tex], obtemos uma sequ\u00eancia cujos primeiros termos aparecem a seguir. [tex]\\qquad \\qquad \\,2\\,3\\,4\\,6\\,6\\,9\\,9\\,2\\,1\\,1\\,5\\,1\\,3\\,8\\,1\\,6\\,1 \\cdots[\/tex] Qual \u00e9 o &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-uma-sequencia-compriiiiiiiiida\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-86919","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/86919","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=86919"}],"version-history":[{"count":75,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/86919\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":191690,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/86919\/revisions\/191690"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=86919"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}