Problema Considere em um plano [tex]21[\/tex] pontos tais que tr\u00eas deles nunca s\u00e3o colineares. Quantos tri\u00e2ngulos diferentes com v\u00e9rtices em tr\u00eas destes pontos podemos formar?<\/p>\n <\/span><\/div>\n <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/strong><\/span><\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o enviada pelo Clube Aprendizes dos N\u00fameros<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/strong><\/span><\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o enviada pelo Clube As Inc\u00f3gnitas da Matem\u00e1tica<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n <\/p>\n Participaram da discuss\u00e3o do problema os seguintes Clubes: Aprendizes dos N\u00fameros; As Inc\u00f3gnitas da Matem\u00e1tica.<\/span><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Considere em um plano [tex]21[\/tex] pontos tais que tr\u00eas deles nunca s\u00e3o colineares. Quantos tri\u00e2ngulos diferentes com v\u00e9rtices em tr\u00eas destes pontos podemos formar? Solu\u00e7\u00e3o 1 Para se ter um tri\u00e2ngulo precisamos escolher os seus tr\u00eas v\u00e9rtices. Como n\u00e3o podemos escolher o mesmo … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/strong><\/p>\n
\n![\"confuso\"](\"http:\/\/aventadores.files.wordpress.com\/2012\/03\/confuso.gif\")
\n<\/p>\n
\nPara se ter um tri\u00e2ngulo precisamos escolher os seus tr\u00eas v\u00e9rtices.
\nComo n\u00e3o podemos escolher o mesmo v\u00e9rtice mais de uma vez, ent\u00e3o o n\u00famero de combina\u00e7\u00f5es que podemos fazer com esses [tex]21[\/tex] pontos \u00e9: [tex]21\\cdot 20\\cdot19=7980[\/tex].
\nMas se pararmos a\u00ed teremos contado cada tri\u00e2ngulo mais de uma vez.
\nAssim, quantas vezes contamos cada tri\u00e2ngulo?
\nA resposta \u00e9 [tex]6[\/tex], pois no c\u00e1lculo anterior est\u00e1vamos considerando a ordem de escolha dos pontos como sendo algo importante. Para sermos mais diretos, est\u00e1vamos considerando que ABC <\/strong>, ACB<\/strong>, BAC<\/strong>, BCA<\/strong>, CAB <\/strong> e CBA <\/strong> seriam tri\u00e2ngulos diferentes, sendo os pontos A, B e C v\u00e9rtices do tri\u00e2ngulo.
\nSendo assim, o n\u00famero real de tri\u00e2ngulos \u00e9 [tex]\\dfrac{7980}{6}= 1330.[\/tex]<\/p>\n
\n
\nTemos [tex]21[\/tex] pontos.
\nSabemos que para formar um tri\u00e2ngulo s\u00e3o necess\u00e1rios tr\u00eas pontos.
\nDessa forma s\u00f3 precisamos escolher tr\u00eas pontos em [tex]21[\/tex] .
\nTeremos ent\u00e3o:
\n[tex]\\qquad \\begin{pmatrix} 21 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\dfrac {21!}{3! \\times 18!} = 1330.\\\\
\n[\/tex]
\nLogo, s\u00e3o 1330 tri\u00e2ngulos diferentes<\/strong>.<\/p>\n
\n