{"id":85769,"date":"2017-09-24T23:12:42","date_gmt":"2017-09-25T02:12:42","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=85769"},"modified":"2024-11-29T20:00:02","modified_gmt":"2024-11-29T23:00:02","slug":"sala-para-leitura_010-um-pouco-sobre-poliedros","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-para-leitura_010-um-pouco-sobre-poliedros\/","title":{"rendered":".Sala para leitura_010: Um pouco sobre poliedros"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"gr1 cb11\">\n<p class=\"ti1 c1\" style=\"line-height:30px;margin:1px\"><em> Um pouco sobre poliedros <\/em><\/p>\n<hr style=\"height: 3px; background-color: #6d360f; border: 0 none;\" \/>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div style=\" float:right;  width: 600px;  height:auto;\">\n<table style=\"border:0px;  height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"75\" height=\"90\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala bg1\" style=\"width:450px;\" > Apresentaremos aqui algumas defini\u00e7\u00f5es e propriedades b\u00e1sicas de poliedros para que voc\u00eas possam executar com mais seguran\u00e7a algumas atividades do nosso Blog.<br \/>\n<span style=\"color: #6d360f;padding-left:150px;\"><strong>Bom Proveito, pessoal!<\/strong><\/span><\/p>\n<p>&nbsp;<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<div style=\"clear: both;\"><\/div>\n<div class=\"gr1 cb12\">\n<p class=\"ti2 c1\" style=\"line-height:20px;margin:1px\"><em> O que s\u00e3o  poliedros? <\/em><\/p>\n<hr style=\"height: 2px; background-color: #6d360f; border: 0 none;\" \/>\n<p style=\"text-indent:40px; margin-top:30px; margin-bottom:20px;\"> Nesta nossa breve discuss\u00e3o, vamos adotar uma defini\u00e7\u00e3o de poliedro que, embora n\u00e3o seja muito geral, atende perfeitamente \u00e0s nossas finalidades. Adotando essa defini\u00e7\u00e3o, podemos escrever com rigor a ideia intuitiva de que poliedro \u00e9 um objeto geom\u00e9trico de tr\u00eas dimens\u00f5es, formado por pol\u00edgonos.<\/p>\n<div class=\"gr3 cb14 bg1\"style=\"width:85%\"><strong><em>Poliedro <\/em><\/strong>\u00e9 a reuni\u00e3o de um n\u00famero finito de pol\u00edgonos planos, denominados faces, de modo que:<\/p>\n<p style=\"margin-left:20px; margin-right:20px;\"><strong>(a)<\/strong> Cada lado de um desses pol\u00edgonos \u00e9 tamb\u00e9m lado de um, e apenas um outro pol\u00edgono.<br \/>\n<span style=\"padding-left:20px;font-size:12px; color:#6d360f;\">(Os lados dos pol\u00edgonos que comp\u00f5em o poliedro s\u00e3o denominados <strong> as arestas do poliedro<\/strong>)<\/span><br \/>\n<strong>(b)<\/strong> A interse\u00e7\u00e3o de duas faces quaisquer ou \u00e9 um lado comum, ou \u00e9 um v\u00e9rtice, ou \u00e9 vazia.<br \/>\n<span style=\"padding-left:20px;font-size:12px; color:#6d360f;\"> (Os v\u00e9rtices dos pol\u00edgonos que comp\u00f5em o poliedro s\u00e3o denominados <strong> os v\u00e9rtices do poliedro<\/strong>) <\/span><br \/>\n<strong>(c)<\/strong> \u00c9 sempre poss\u00edvel ir, sobre o poliedro, de um ponto de uma face a um ponto de qualquer outra, sem passar por nenhum v\u00e9rtice (ou seja, cruzando apenas arestas).<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"text-indent:40px; margin-top:30px;margin-bottom:20px;\">Assim, para afirmarmos, neste t\u00f3pico, que um objeto \u00e9 um poliedro, teremos que verificar se as condi\u00e7\u00f5es (a), (b) e (c) s\u00e3o, simultaneamente, cumpridas. Se uma delas falhar, o objeto n\u00e3o pode ser classificado\/chamado de  poliedro. Nessa altura do campeonato voc\u00eas podem estar se perguntando: <strong>E os exemplos?<\/strong><br \/>\n<span style=\"padding-left:40px;\">Bom, chegou a hora deles e, portanto, convidamos voc\u00eas para a <strong>Atividade 1<\/strong>.<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:4px; background-color:#6d360f; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;  border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; background-color:#6d360f; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<p class=\"ti2 c1\">Vamos l\u00e1? \u00c9 s\u00f3 clicar no bot\u00e3o abaixo e<br \/>\nbons estudos!<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 bbg1\" value=\"Atividade 1 \" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar a atividade ';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Atividade 1';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gr3 cb13 bg1\">\nObservem atentamente as 16 figuras abaixo e investiguem se o objeto que cada uma representa atende \u00e0s condi\u00e7\u00f5es (a), (b) e (c) da nossa defini\u00e7\u00e3o de poliedro.  <\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"gr3 cb13\">\nNa an\u00e1lise de cada figura, \u00e9 claro que:<\/p>\n<ul>\n<li> se as tr\u00eas condi\u00e7\u00f5es forem satisfeitas, ent\u00e3o a figura representa um poliedro; <\/li>\n<li> se uma das condi\u00e7\u00f5es falhar j\u00e1 \u00e9 suficiente para voc\u00eas garantirem que n\u00e3o se trata de um poliedro, e  nem seria necess\u00e1rio testar as demais condi\u00e7\u00f5es.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Mas queremos saber se voc\u00eas entenderam, de fato, as tr\u00eas condi\u00e7\u00f5es, por isso a atividade n\u00e3o \u00e9, simplesmente, garantir se temos ou n\u00e3o poliedros, mas sim verificar quais dentre as condi\u00e7\u00f5es (a), (b) e (c) s\u00e3o v\u00e1lidas e quais n\u00e3o, para cada um dos 16 objetos representados. <\/p><\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table  style=\"border: 2px solid #6d360f; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<tr>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align: bottom;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli4.png\" alt=\"poli4\" width=\"172\" height=\"205\" class=\"aligncenter size-full wp-image-48710\" \/><\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align: bottom;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli13.png\" alt=\"poli13\" width=\"142\" height=\"198\" class=\"aligncenter size-large wp-image-48718\" \/><\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align: bottom;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli7.png\" alt=\"poli7\" width=\"205\" height=\"214\" class=\"aligncenter size-large wp-image-48712\" \/><\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align: bottom;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli17.png\" alt=\"poli17\" width=\"200\" height=\"90\" class=\"aligncenter size-full wp-image-48745\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli17.png 614w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli17-300x133.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 200px) 100vw, 200px\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align:top;text-align:center;\">Objeto 1 <\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align:top;text-align:center;\">Objeto 2<\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align:top;text-align:center;\">Objeto 3<\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align:top;text-align:center;\">Objeto 4<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align: bottom;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli23.png\" alt=\"poli23\" width=\"163\" height=\"158\" class=\"aligncenter size-full wp-image-48770\" \/><\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align: bottom;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli16.png\" alt=\"poli16\" width=\"200\" height=\"175\" class=\"aligncenter size-full wp-image-48721\" \/><\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align: bottom;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli11.jpg\" alt=\"poli11\" width=\"200\" height=\"150\" class=\"aligncenter size-large wp-image-48716\" \/><\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align: bottom;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli12.png\" alt=\"poli12\" width=\"182\" height=\"189\" class=\"aligncenter size-large wp-image-48717\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"border: 1px solid #6d360f;\">\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align:top;text-align:center;\">Objeto 5 <\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align:top;text-align:center;\">Objeto 6<\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align:top;text-align:center;\">Objeto 7<\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align:top;text-align:center;\">Objeto 8<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align: bottom;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli6.png\" alt=\"poli6\" width=\"197\" height=\"196\" class=\"aligncenter size-large wp-image-48711\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli6.png 197w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli6-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 197px) 100vw, 197px\" \/><\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align: bottom;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli14.png\" alt=\"poli14\" width=\"200\" height=\"200\" class=\"aligncenter size-large wp-image-48719\" \/><\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align: bottom;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli15.png\" alt=\"poli15\" width=\"200\" height=\"190\" class=\"aligncenter size-large wp-image-48720\" \/><\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align: bottom;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli10.png\" alt=\"poli10\" width=\"156\" height=\"147\" class=\"aligncenter size-large wp-image-48715\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align:top;text-align:center;\">Objeto 9 <\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align:top;text-align:center;\">Objeto 10<\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align:top;text-align:center;\">Objeto 11<\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align:top;text-align:center;\">Objeto 12<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align: bottom;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli18.png\" alt=\"poli18\" width=\"179\" height=\"130\" class=\"aligncenter size-full wp-image-48764\" \/>\n<\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align: bottom;\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli24.png\" alt=\"poli24\" width=\"200\" height=\"110\" class=\"aligncenter size-full wp-image-48826\" \/>\n<\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align: bottom;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli21.png\" alt=\"poli21\" width=\"345\" height=\"203\" class=\"aligncenter size-large wp-image-48766\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli21.png 345w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli21-300x177.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 345px) 100vw, 345px\" \/>\n<\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align: bottom;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli22.png\" alt=\"poli22\" width=\"225\" height=\"225\" class=\"aligncenter size-large wp-image-48767\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli22.png 225w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/poli22-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 225px) 100vw, 225px\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align:top;text-align:center;\">Objeto 13 <\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align:top;text-align:center;\">Objeto 14<\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align:top;text-align:center;\">Objeto 15<\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; vertical-align:top;text-align:center;\">Objeto 16<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<\/div>\n<\/div>\n<hr style=\"height:1px; background-color:#6d360f;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:4px; background-color:#6d360f;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-indent:40px; margin-top:30px; margin-bottom:20px;width:90%\">\nOs poliedros podem ser classificados em v\u00e1rias categorias. A pr\u00f3xima defini\u00e7\u00e3o trata de uma categoria importante de poliedros: os poliedros convexos.<\/p>\n<div class=\"gr3 cb14 bg1\">Um poliedro \u00e9 dito <strong>convexo <\/strong>se toda reta n\u00e3o paralela e nem contida nos planos de suas faces o corta em, no m\u00e1ximo, dois pontos. <\/div>\n<p style=\"text-indent:40px; margin-top:30px; margin-bottom:20px;\">Dentre os poliedros convexos, destacaremos um tipo conhecido desde a antiguidade e que recebeu tratamento especial no livro XIII dos <strong><em>Elementos <\/em><\/strong>de Euclides: os poliedros regulares. <\/p>\n<div class=\"gr2 cb14 bg1\" style=\"width:90%\">Um poliedro convexo \u00e9 dito <strong>regular<\/strong> se todas as suas faces s\u00e3o pol\u00edgonos regulares congruentes e, al\u00e9m disso, em cada v\u00e9rtice do poliedro concorre o mesmo n\u00famero de arestas. <\/div>\n<p style=\"text-indent:40px; margin-top:30px;width:92%\">Observem que a segunda condi\u00e7\u00e3o da defini\u00e7\u00e3o de poliedro regular n\u00e3o decorre da primeira, como inicialmente poder\u00edamos pensar. A bipir\u00e2mide pentagonal, por exemplo,  tem dez faces que s\u00e3o tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros, mas o n\u00famero de arestas que partem de cada v\u00e9rtice dela n\u00e3o \u00e9 o mesmo (de alguns partem 4 e de outros partem 5). Dessa forma a bipir\u00e2mide pentagonal n\u00e3o \u00e9 um poliedro regular.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/bipiramide.png\" alt=\"bipiramide\" width=\"135\" height=\"275\" style=\"border:0px;\" class=\"aligncenter size-full wp-image-48923\" \/><\/p>\n<p><p style=\"text-indent:40px;\"> \u00c9 poss\u00edvel demonstrar que existem apenas cinco tipos de poliedros regulares: os tetraedros, os cubos, os octaedros, os dodecaedros e os icosaedros. <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/platao2.png\" style=\"border:0px;\" alt=\"platao2\" width=\"599\" height=\"343\" class=\"aligncenter size-full wp-image-48839\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/platao2.png 599w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/platao2-300x172.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 599px) 100vw, 599px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-indent:40px; margin-top:30px;\">Cabe aqui a observa\u00e7\u00e3o de que, historicamente, o termo poliedro surgiu para designar o objeto s\u00f3lido (s\u00f3lidos  de Plat\u00e3o, por exemplo). Atualmente o termo poliedro \u00e9 utilizado tanto para o s\u00f3lido como para a sua superf\u00edcie (nosso caso).\n<\/div>\n<p style=\" margin:40px;\">\n<hr style=\"height:1px; width:20%;background-color:#6d360f;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:40%;background-color:#6d360f; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;  border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:3px; width:50%;background-color:#6d360f; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;  border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:3px; width:50%;background-color:#6d360f; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;  border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:40%;background-color:#6d360f; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;  border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:20%;background-color:#6d360f; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;  border: 0 none\"\/>\n<p style=\" margin:40px;\">\n<div class=\"gr1 cb12\">\n<p class=\"ti2 c1\"  style=\"line-height:20px;margin:1px\"><em> A rela\u00e7\u00e3o de Euler para poliedros <\/em><\/p>\n<hr style=\"height: 2px; background-color: #6d360f; border: 0 none;\" \/>\n<p style=\"text-indent:40px; margin-top:30px; margin-bottom:20px;\"> Apresentaremos agora um importante resultado sobre poliedros,  conhecido como <strong> Rela\u00e7\u00e3o de Euler<\/strong> ou <strong>F\u00f3rmula de Euler<\/strong> ou <strong>Teorema de Euler<\/strong>. Trata-se de uma propriedade geral que estabelece uma rela\u00e7\u00e3o entre o n\u00famero de v\u00e9rtices, o n\u00famero de arestas e o n\u00famero de faces de um poliedro convexo. O resultado foi anunciado pelo grande matem\u00e1tico su\u00ed\u00e7o Leonhard Euler (1707\u20131783) em uma carta que ele escreveu para seu amigo, o tamb\u00e9m matem\u00e1tico Christian Goldbach (1690\u20131764), em novembro de 1750.<\/p>\n<div class=\"gr3 cb15\" style=\"color:#6d360f;\">\n<strong>Em todo poliedro convexo vale a rela\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-indent:100px; margin-top:10px; margin-bottom:10px;\"><strong>[tex]V \u2013 A + F = 2 [\/tex],<\/strong><\/p>\n<p><strong>onde [tex]V [\/tex] \u00e9 o n\u00famero de v\u00e9rtices, [tex]A[\/tex] \u00e9 o n\u00famero de  arestas e [tex]F[\/tex] \u00e9 o n\u00famero de faces do poliedro em quest\u00e3o.<\/strong>\n<\/div>\n<p style=\"text-indent:40px; margin-top:30px; margin-bottom:20px;\"> Observe que o resultado garante que a rela\u00e7\u00e3o [tex]V \u2013 A + F = 2 [\/tex] vale para todo poliedro convexo, mas nada podemos garantir para poliedros n\u00e3o convexos. Embora existam poliedros n\u00e3o convexos para os quais a rela\u00e7\u00e3o \u00e9 verdadeira, tamb\u00e9m existem poliedros n\u00e3o convexos para os quais ela n\u00e3o vale. Particularmente, poliedros para os quais a Rela\u00e7\u00e3o Euler \u00e9 v\u00e1lida s\u00e3o chamados <strong>poliedros Eulerianos<\/strong>. Assim:<\/p>\n<p class=\"gr3 cb15\" style=\"color:#6d360f;\"><strong>Todo poliedro convexo \u00e9 Euleriano, mas nem todo poliedro Euleriano \u00e9 convexo.<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-indent:40px; margin-top:20px; margin-bottom:20px;\"> N\u00e3o faremos a demonstra\u00e7\u00e3o aqui de que a rela\u00e7\u00e3o de Euler \u00e9 uma condi\u00e7\u00e3o necess\u00e1ria para que um poliedro seja convexo, pois isso fugiria do nosso prop\u00f3sito que \u00e9, apenas, apresentar informa\u00e7\u00f5es b\u00e1sicas para uma melhor execu\u00e7\u00e3o das atividades relacionadas aos caleidociclos. Para os que se interessarem por conhecer uma demonstra\u00e7\u00e3o desse resultado e explor\u00e1-lo um pouco mais, indicamos os seguintes artigos publicados na <strong>Revista do Professor de Matem\u00e1tica<\/strong>, RPM, edi\u00e7\u00e3o  n\u00famero 3 de 1982 e edi\u00e7\u00e3o  n\u00famero 47 de 2010, respectivamente:<\/p>\n<table style=\"border:0px; width:90%; margin-left: auto; margin-right: auto;\">\n<tr>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; text-align: right;\">\n<p class=\"fala bg1\" style=\"width:280px; margin-left: auto; margin-right: auto;text-align:center;\" ><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/08\/rpm3_Teorema-de-Euler.pdf\" title=\"Conhe\u00e7a o texto.\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #6d360f;\"><span style=\"color: #6d360f;\"><strong>&#10063; Demonstra\u00e7\u00e3o do Teorema de<br \/>\nEuler para Poliedros convexos<\/strong><br \/>\nZoroastro Azambuja Filho<\/span> <\/a><\/p>\n<\/td>\n<td style=\"border: 1px solid #FFFFFF; text-align: right;\">\n<p class=\"fala bg1\" style=\"width:200px; margin-left: auto; margin-right: auto;text-align:center;\" ><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/08\/RPM47_02_Existe-o-pooliedro.pdf\" title=\"Conhe\u00e7a o texto.\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #6d360f;\"><strong>&#10063; V \u2013 A + F = 2.<br \/>\nExiste o poliedro?<\/strong><br \/>\nEduardo Wagner<\/span> <\/a><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p style=\"margin:40px\">\n<p class=\"ti2 c1\">E agora, vamos praticar?<\/p>\n<p style=\"margin:40px\">\n<hr style=\"height:4px; background-color:#6d360f; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;  border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; background-color:#6d360f; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;  border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"gr3 cb13\">\n<p class=\"ti2 c1\" style=\"line-height:30px;margin:1px\"><em> Atividade 2 <\/em><\/p>\n<hr style=\"height: 2px; background-color: #6d360f; border: 0 none;\" \/>\n<p style=\"margin-top:30px;\"> Na atividade 1 voc\u00eas classificaram os 16 objetos apresentados como poliedros e n\u00e3o poliedros. Nesta atividade, voc\u00eas dever\u00e3o verificar quais dos poliedros apresentados s\u00e3o Eulerianos.<br \/>\nPara isso, contem o n\u00famero de v\u00e9rtices, arestas e faces de cada poliedro, calculem o n\u00famero [tex]V \u2013 A + F  [\/tex] e concluam se os respectivos poliedros s\u00e3o Eulerianos ou n\u00e3o.\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<hr style=\"height:1px; background-color:#6d360f;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:4px; background-color:#6d360f; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;  border: 0 none\"\/>\n<\/div>\n<p style=\" margin:40px;\">\n<hr style=\"height:1px; width:20%;background-color:#6d360f; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;  border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:40%;background-color:#6d360f; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;  border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:3px; width:50%;background-color:#6d360f; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;  border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:3px; width:50%;background-color:#6d360f;  margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px; width:40%;background-color:#6d360f; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;  border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:20%;background-color:#6d360f; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px;  border: 0 none\"\/>\n<p style=\" margin:40px;\">\n<div class=\"gr1 cb12\">\n<p class=\"ti2 c1\" style=\"line-height:30px;margin:1px\"><em> Indo al\u00e9m da rela\u00e7\u00e3o de Euler . . . <\/em><\/p>\n<hr style=\"height: 2px; background-color: #6d360f; border: 0 none;\" \/>\n<p style=\"text-indent:40px; margin-top:30px; margin-bottom:20px;\">  Muitos matem\u00e1ticos se debru\u00e7aram sobre a rela\u00e7\u00e3o [tex]V \u2013 A + F = 2 [\/tex] tentando fazer dela um &#8220;<em>teorema de verdade<\/em>&#8220;, livre de contra-exemplos, por mais de um s\u00e9culo. Como frutos de toda essa discuss\u00e3o colhemos a necessidade de uma defini\u00e7\u00e3o precisa do que seja um poliedro (o pr\u00f3prio Euler nunca definiu precisamente <em>poliedro<\/em>) e a genial vis\u00e3o de <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=10824\" target=\"_blank\" title=\" Jules Henri Poincar\u00e9: leia a sua biografia\"><span style=\"color: #d66a1d;\"><em><strong>Poincar\u00e9<\/strong><\/em><\/span><\/a> de que o n\u00famero [tex]V \u2013 A + F[\/tex] \u00e9, na verdade, uma caracter\u00edstica topol\u00f3gica e n\u00e3o geom\u00e9trica. Na verdade, ele notou que esse n\u00famero \u00e9 um <em>invariante topol\u00f3gico, o que explicaria porque para todos os poliedros convexos [tex]V \u2013 A + F=2[\/tex]<\/em>.<\/p>\n<div class=\"gr3 cb13\"> Vamos tentar dar uma explica\u00e7\u00e3o intuitiva do que isso significa. Imaginem objetos feitos de um material el\u00e1stico e que ao injetarmos ar dentro deles podemos mudar as suas formas originais, sem romp\u00ea-los. Se conseguirmos desse modo deformar continuamente dois objetos transformando-os um no outro, esses dois objetos  matematicamente s\u00e3o ditos <strong><em>homeomorfos <\/em><\/strong>(mesma forma). Nesse contexto, o n\u00famero [tex]V \u2013 A + F[\/tex] \u00e9 referido (muito justamente) como <strong>caracter\u00edstica de Euler-Poincar\u00e9<\/strong>; assim o que Poincar\u00e9 provou foi que todos os poliedros que se &#8220;<em>deformam<\/em>&#8221; no mesmo objeto t\u00eam a mesma caracter\u00edstica de Euler-Poincar\u00e9, pois s\u00e3o homeomorfos. Particularmente os poliedros convexos podem ser transformados em esferas, logo s\u00e3o homeomorfos \u00e0 esfera. Portanto \u00e9 por isso que para todos os poliedros convexos, assim como para outros que podem ser deformados em esferas, vale a rela\u00e7\u00e3o de Euler: [tex]V \u2013 A + F=2[\/tex].<\/p>\n<p style=\"text-align:center\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/homeomorfos.gif\" alt=\"homeomorfos\" width=\"200\" height=\"150\" class=\"alignnone size-full wp-image-48967\" \/> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/homeomorfos1.gif\" alt=\"homeomorfos1\" width=\"200\" height=\"150\" class=\"alignnone size-large wp-image-48968\" \/><br \/>\nGif extra\u00eddo de <a href=\"http:\/\/www.cdme.im-uff.mat.br\/pdp\/pdp-html\/pdp-br.html\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #b85b19;\"> Uma pletora de poliedros<\/span><\/a><\/p>\n<p>Bacana, n\u00e3o \u00e9? Se voc\u00eas se interessaram pelo assunto, leia este texto:<\/p>\n<p class=\"fala bg1\" style=\"width:250px; margin-left: auto; margin-right: auto;text-align:center;\" ><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/08\/caracteristica_euler.pdf\" title=\"Conhe\u00e7a o texto.\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #6d360f;\"><strong>&#10063; O que \u00e9&#8230;<br \/>\nA Caracter\u00edstica de Euler? <\/strong><br \/>\nLucia Fern\u00e1ndez-Suarez <\/span> <\/a><\/p>\n<\/div>\n<p style=\"text-indent:40px; margin-top:30px;\"> A ideia de objetos homeomorfos explica  porque alguns dos objetos que voc\u00eas examinaram na Atividade 6 t\u00eam a mesma caracter\u00edstica de Euler-Poincar\u00e9: mesmo, a princ\u00edpio, tendo formas geom\u00e9tricas bem diferentes eles podem ser deformados e transformados em um mesmo objeto.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 bbg1\" value=\"Topologia \" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Topologia';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none;\">\n<div class=\"gr2 cb13 \" style=\"width:90%\">\n<p style=\"text-indent:20px;\"> Toda essa discuss\u00e3o pode ser feita dentro de uma \u00e1rea da Matem\u00e1tica chamada Topologia. Se considerarmos apenas as tr\u00eas \u00e1reas cl\u00e1ssicas da Matem\u00e1tica &#8211; \u00c1lgebra, An\u00e1lise e Geometria &#8211; a Topologia estaria dentro da Geometria. Mas a Topologia poderia, inclusive, substituir a \u00e1rea de Geometria, ficando neste caso a Geometria como uma sub\u00e1rea da Topologia. <\/p>\n<p style=\"text-indent:20px;\">A Topologia surgiu no s\u00e9culo XIX, a partir de trabalhos, principalmente, de Cantor, Poincar\u00e9 e de Riemann. Ela se preocupa com propriedades de objetos geom\u00e9tricos que s\u00e3o preservadas, quando esses objetos s\u00e3o deformados; assim, estudando Topologia, voc\u00eas podem at\u00e9 se divertir, transformando rosquinhas em canecas e canecas em rosquinhas &#8211; transforma\u00e7\u00f5es que at\u00e9 hoje o <em>Homer Simpson<\/em> tenta fazer&#8230;<\/p>\n<p style=\"text-align:center\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/homeomorfos2.gif\" alt=\"homeomorfos2\" width=\"220\" height=\"220\" class=\"alignnone size-full wp-image-48990\" \/> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/10\/rosquinha.jpg\" alt=\"rosquinha\" width=\"284\" height=\"177\" class=\"alignnone size-large wp-image-48991\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\" margin:40px;\">\n<hr style=\"height:1px;background-color:#6d360f; margin-top: 6px; margin-bottom: 6px;  border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px;background-color:#6d360f; margin-top: 6px; margin-bottom: 6px;  border: 0 none\"\/>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"color: #6d360f;\">Equipe COM &#8211; OBMEP<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"font-size: 16px;line-height: 30px;text-align: right; color: #6d360f;\">Setembro de 2017.<\/p>\n<div style=\"padding-left: 20px; padding-right:100px;\">\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"ref\">\nFiguras, v\u00eddeos, ideias e material eventual adaptados ou extra\u00eddos de:<br \/>\n<a href=\"http:\/\/www.profcardy.com\/geometria\/poliedros-de-platao.php\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #b85b19;\">&#10152; Poliedros de Plat\u00e3o<\/span><\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(\u00daltimo acesso em 18\/08\/20)<br \/>\n<a href=\"http:\/\/www.cdme.im-uff.mat.br\/pdp\/pdp-html\/definicoes-br.html\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #b85b19;\">&#10152; Uma pletora de poliedros &#8211; Defini\u00e7\u00f5es<\/span><\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(&Uacute;ltimo acesso em 25\/09\/20)<br \/>\n<a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Topology\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #b85b19;\">&#10152; Wikimedia &#8211; Topology<\/span><\/a> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(&Uacute;ltimo acesso em 18\/08\/20)<br \/>\n<span style=\"color: #d66a1d;\">&#10152;<\/span> Licen\u00e7as sob Dom\u00ednio p\u00fablico via <a href=\"\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/\" target=\"_blank\" ><span style=\"color: #b85b19;\">Wikimedia Commons<\/span><\/a>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Um pouco sobre poliedros Apresentaremos aqui algumas defini\u00e7\u00f5es e propriedades b\u00e1sicas de poliedros para que voc\u00eas possam executar com mais seguran\u00e7a algumas atividades do nosso Blog. Bom Proveito, pessoal! &nbsp; O que s\u00e3o poliedros? Nesta nossa breve discuss\u00e3o, vamos adotar uma defini\u00e7\u00e3o de poliedro que, embora n\u00e3o seja muito geral, atende perfeitamente \u00e0s nossas finalidades. &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-para-leitura_010-um-pouco-sobre-poliedros\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-85769","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/85769","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=85769"}],"version-history":[{"count":23,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/85769\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":223617,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/85769\/revisions\/223617"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=85769"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}