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Completamento de quadrado<\/p>\n
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O completamento de quadrado<\/strong> \u00e9 um procedimento alg\u00e9brico que responde basicamente \u00e0 seguinte pergunta:<\/p>\n Estamos perguntando qual o valor de [tex]\\boxed{k}[\/tex] tal que [tex]x^2+ax+\\boxed{k}=(x+b)^2[\/tex], para algum [tex]b \\in \\mathbb{R}[\/tex]. Por exemplo, <\/p>\n Parece complicado, mas \u00e9 algo extremamente simples e \u00fatil em algumas situa\u00e7\u00f5es alg\u00e9bricas e geom\u00e9tricas; e a resposta \u00e9:<\/p>\n N\u00e3o decore f\u00f3rmulas, fa\u00e7a simplesmente as continhas…<\/p>\n A necessidade de se realizar um completamento de quadrado n\u00e3o vem anunciada. Quase sempre utilizamos a t\u00e9cnica como um recurso para simplificar determinados c\u00e1lculos ou problemas. \n Equipe COM – OBMEP<\/p>\n \n<\/div>\n Setembro de 2017.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Completamento de quadrado O completamento de quadrado \u00e9 um procedimento alg\u00e9brico que responde basicamente \u00e0 seguinte pergunta: Se [tex]a[\/tex] \u00e9 um n\u00famero real n\u00e3o nulo, qual o valor de [tex]k[\/tex] que devemos somar \u00e0 express\u00e3o [tex]x^2+ax[\/tex] de modo a obter um quadrado perfeito? Estamos perguntando qual o valor de [tex]\\boxed{k}[\/tex] tal que [tex]x^2+ax+\\boxed{k}=(x+b)^2[\/tex], para algum … <\/p>\n\n
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\n[tex]\\qquad x^2+7x+k=(x+b)^2 \\iff x^2+7x+k=x^2+2bx+b^2[\/tex],
\nigualando os termos semelhantes obtemos que
\n[tex]\\qquad \\begin{cases} 2b=7 \\\\ \\\\ k=b^2 \\end{cases}[\/tex],
\ndonde
\n[tex]\\qquad \\begin{cases} b=\\dfrac{7}{2} \\\\ \\\\ k=\\dfrac{49}{4} \\end{cases}[\/tex]
\ne, assim,
\n[tex]\\qquad x^2+7x+\\dfrac{49}{4}=\\left(x+\\dfrac{7}{2}\\right)^2[\/tex].
\nObservem que no processo obtemos n\u00e3o s\u00f3 o valor de [tex]k[\/tex], como tamb\u00e9m o de [tex]b[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n\n
\n[tex]\\qquad x^2+38x+k=(x+b)^2 \\iff x^2+38x+k=x^2+2bx+b^2[\/tex],
\nassim, igualando os termos semelhantes, obtemos
\n[tex]\\qquad \\begin{cases} 2b=38 \\\\ k=b^2 \\end{cases}[\/tex].
\nCom isso,
\n[tex]\\qquad \\begin{cases} b=19 \\\\ k=361 \\end{cases}[\/tex]
\ne [tex]\\,\\, \\boxed{x^2+38x+361=\\left(x+19 \\right)^2}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n
\nPor exemplo, podemos utilizar o segundo completamento de quadrado que fizemos para resolver a equa\u00e7\u00e3o do segundo grau [tex]x^2+38x+1=0[\/tex].
\nCom efeito, de [tex]x^2+38x+1=0[\/tex] segue que:
\n[tex]\\qquad x^2+38x=-1[\/tex]
\n[tex]\\qquad x^2+38x+361=-1+361[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\left(x+19 \\right)^2=360[\/tex]
\n[tex]\\qquad x+19=\\pm \\sqrt{360}[\/tex]
\n[tex]\\qquad x=-19\\pm \\sqrt{360}=-19\\pm 6 \\sqrt{10}[\/tex].
\nAssim [tex]\\boxed{x=-19+6 \\sqrt{10}}[\/tex] ou [tex]\\boxed{x=-19-6 \\sqrt{10}}[\/tex].<\/p>\n
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