{"id":85533,"date":"2017-09-23T14:00:27","date_gmt":"2017-09-23T17:00:27","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=85533"},"modified":"2023-04-08T02:50:55","modified_gmt":"2023-04-08T05:50:55","slug":"problemao-apagando-numeros-e-quadrados-perfeitos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-apagando-numeros-e-quadrados-perfeitos\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Apagando n\u00fameros e quadrados perfeitos"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Francimar descobriu que adora n\u00fameros que s\u00e3o quadrados perfeitos, ent\u00e3o ele resolveu explorar as propriedades desse tipo de n\u00famero.<br \/>\nPrimeiro, ele escreveu os n\u00fameros naturais de [tex]1[\/tex] a [tex]21[\/tex] em uma folha de papel. Agora, quer apagar alguns deles de modo que o resultado do produto dos n\u00fameros restantes seja um quadrado perfeito.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>(a)<\/strong> Mostre que, para Francimar conseguir seu objetivo, ent\u00e3o necessariamente os n\u00fameros  [tex]11[\/tex], [tex]13[\/tex], [tex]17[\/tex] e [tex]19[\/tex] devem estar entre os que ele deve apagar.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>(b)<\/strong> Qual \u00e9 a menor quantidade de n\u00fameros que Francimar deve apagar para atingir seu objetivo?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:35px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p><strong>(a)<\/strong>  Observe que, se Francimar decidir n\u00e3o apagar o n\u00famero [tex]11[\/tex], por exemplo, ent\u00e3o o produto dos n\u00fameros n\u00e3o apagados ser\u00e1 da forma [tex]P =11 \\times N[\/tex].<br \/>\nComo [tex]11[\/tex] \u00e9 o \u00fanico m\u00faltiplo de [tex]11[\/tex] entre os n\u00fameros escritos por Francimar, ent\u00e3o [tex]N[\/tex] \u00e9 um produto de n\u00fameros n\u00e3o divis\u00edveis por [tex]11[\/tex] e, portanto, [tex]N[\/tex] n\u00e3o \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]11[\/tex]. <\/p>\n<ul>\n<li>Dessa forma, [tex]P[\/tex] seria m\u00faltiplo de [tex]11[\/tex], mas n\u00e3o seria m\u00faltiplo de [tex]11^2[\/tex], e, consequentemente, [tex]P[\/tex] n\u00e3o seria quadrado perfeito. <\/li>\n<\/ul>\n<p>De modo an\u00e1logo, podemos ver que Francimar tamb\u00e9m deve apagar os n\u00fameros [tex]13[\/tex], [tex]17[\/tex] e [tex]19[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 20px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<strong>(b)<\/strong> Se Francimar apagar somente os n\u00fameros [tex]11[\/tex], [tex]13[\/tex], [tex]17[\/tex] e [tex]19[\/tex], o produto dos [tex]17[\/tex] n\u00fameros restantes seria<br \/>\n[tex]\\qquad P=1 \\times 2 \\times 3\\times \\dots  \\times 10 \\times 12 \\times 14 \\times 15 \\times 16 \\times 18 \\times 20 \\times 21.[\/tex]<br \/>\nAo trabalharmos com a fatora\u00e7\u00e3o em n\u00fameros primos do n\u00famero [tex]P[\/tex] acima, encontramos<br \/>\n[tex]\\qquad P=2^{18}\\times3^9\\times5^4\\times7^3[\/tex].<br \/>\nPerceba que esse n\u00famero n\u00e3o \u00e9 um quadrado perfeito (por qu\u00ea?); ent\u00e3o Francimar precisa apagar pelo menos mais um n\u00famero.<br \/>\nDe fato, perceba que na fatora\u00e7\u00e3o acima os expoentes dos n\u00fameros [tex]3[\/tex] e [tex]7[\/tex] s\u00e3o \u00edmpares e, para termos um quadrado perfeito, todos os expoentes deveriam ser pares.<br \/>\nAssim, \u00e9 simples ver que, se Francimar apagar pelo menos o n\u00famero [tex]21 = 3 \\times 7[\/tex], ele conseguir\u00e1 o seu objetivo.<br \/>\nPortanto, a menor quantidade de n\u00fameros que Francimar deve apagar \u00e9 cinco: [tex]11[\/tex], [tex]13[\/tex], [tex]17[\/tex], [tex]19[\/tex] e [tex]21[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"g3\">\nParticipou da discuss\u00e3o o Clube <strong>Paralelo 38<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.) Francimar descobriu que adora n\u00fameros que s\u00e3o quadrados perfeitos, ent\u00e3o ele resolveu explorar as propriedades desse tipo de n\u00famero. Primeiro, ele escreveu os n\u00fameros naturais de [tex]1[\/tex] a [tex]21[\/tex] em uma folha de papel. Agora, quer apagar alguns deles de modo que o resultado do &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-apagando-numeros-e-quadrados-perfeitos\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-85533","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/85533","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=85533"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/85533\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":186563,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/85533\/revisions\/186563"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=85533"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}