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Problema \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n Como o n\u00famero que Francimar pensou tem uma quantidade \u00edmpar de divisores, ent\u00e3o, para algum de seus divisores, digamos [tex]a[\/tex] vale que [tex]a=\\dfrac{n}{a}[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n Para que tal produto resulte em um n\u00famero \u00edmpar, todos os seus fatores devem ser \u00edmpares (basta um par para que o produto seja par), mostrando, assim, que [tex]p_1, p_2,\\ldots , p_n[\/tex] seriam pares. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo Clube Paralelo 38 <\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) Toda vez que Francimar pensa em um n\u00famero natural, ele descobre que, coincidentemente, esse n\u00famero possui uma quantidade \u00edmpar de divisores naturais. Mostre que Francimar sempre pensa em n\u00fameros que s\u00e3o quadrados perfeitos. Solu\u00e7\u00e3o 1 Seja [tex]n[\/tex] um dos n\u00fameros pensados por Francimar. Veja que, … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nToda vez que Francimar pensa em um n\u00famero natural, ele descobre que, coincidentemente, esse n\u00famero possui uma quantidade \u00edmpar de divisores naturais.
\nMostre que Francimar sempre pensa em n\u00fameros que s\u00e3o quadrados perfeitos.<\/p>\n
\nSeja [tex]n[\/tex] um dos n\u00fameros pensados por Francimar.
\nVeja que, se [tex]d[\/tex] for divisor de [tex]n[\/tex], ent\u00e3o o quociente [tex]\\dfrac{n}{d}[\/tex] tamb\u00e9m o ser\u00e1; assim, perceba que: <\/p>\n\n
\nAssim, temos [tex]n=a^2[\/tex] e, portanto, [tex]n[\/tex] \u00e9 um quadrado perfeito.<\/p>\n
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\nSabe-se que para calcular o n\u00famero de divisores de um n\u00famero natural maior do [tex]1[\/tex] basta decomp\u00f4-lo em fatores primos, somar [tex]1[\/tex] aos expoentes de cada fator e multiplicar as somas obtidas.
\nSejam, ent\u00e3o, [tex]p_1, p_2,\\ldots , p_n[\/tex] os expoentes dos fatores primos da decomposi\u00e7\u00e3o de um n\u00famero no qual Francimar pensou. Logo, o n\u00famero em quest\u00e3o possui <\/p>\n\n
\nConclui-se, ent\u00e3o, que Francimar sempre pensa em n\u00fameros que s\u00e3o quadrados perfeitos.<\/p>\n
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