{"id":85526,"date":"2017-09-23T13:47:54","date_gmt":"2017-09-23T16:47:54","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=85526"},"modified":"2023-04-08T02:53:30","modified_gmt":"2023-04-08T05:53:30","slug":"problema-o-algarismo-misterioso","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-o-algarismo-misterioso\/","title":{"rendered":".Problema:  O algarismo misterioso"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 6\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nOs algarismos [tex]1, \\,  2, \\,  3,  \\, 4[\/tex] e [tex]5[\/tex] s\u00e3o usados, uma vez cada um, para escrever um n\u00famero de cinco d\u00edgitos, aqui representado por [tex]ABCDE[\/tex], com cada letra representando um d\u00edgito.<br \/>\nSe olharmos apenas para os tr\u00eas d\u00edgitos mais \u00e0 esquerda, temos o n\u00famero [tex]ABC[\/tex], e este \u00e9 divis\u00edvel por [tex]4[\/tex]. De forma semelhante, o n\u00famero [tex]BCD [\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]5 [\/tex] e o n\u00famero [tex]CDE [\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]3[\/tex].<br \/>\n<strong>Qual \u00e9 o algarismo [tex]A[\/tex]?<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:33px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nAnalisemos os algarismos [tex] A, \\, B, \\, C, \\, D, \\, E[\/tex] do n\u00famero em quest\u00e3o.<\/p>\n<ul>\n<li>Comecemos observando que, se o n\u00famero [tex]BCD[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]5[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$D=5$} \\, [\/tex], j\u00e1 que um n\u00famero \u00e9 divis\u00edvel por [tex]5[\/tex] se, e somente se, terminar em [tex]0[\/tex] ou em [tex]5[\/tex]. <\/li>\n<li> Por ser  divis\u00edvel por [tex]4[\/tex], observamos que [tex]ABC[\/tex] deve ser par, ent\u00e3o [tex]C[\/tex] deve ser [tex]2[\/tex] ou [tex]4[\/tex].<\/li>\n<p style=\"margin:20px\">\n<ul>\n<ul>\n<li>Observe que, se [tex]C=2[\/tex], ent\u00e3o  o n\u00famero [tex]CDE[\/tex] j\u00e1 estaria quase determinado: [tex]25E[\/tex].<br \/>\nMas sabemos que [tex]CDE[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]3[\/tex] e que um n\u00famero \u00e9 divis\u00edvel por [tex]3[\/tex] se, e somente se, a soma de seus algarismos \u00e9 divis\u00edvel por [tex]3[\/tex]. Logo [tex]2+5+E=7+E[\/tex] seria divis\u00edvel por [tex]3[\/tex] e, dentro das nossas possibilidades de d\u00edgitos, [tex]E[\/tex] deveria ser [tex]2[\/tex] ou [tex]5[\/tex], d\u00edgitos que j\u00e1 teriam sido utilizados.<\/li>\n<li>Dessa forma, como [tex]C[\/tex] n\u00e3o pode ser [tex]2[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$C=4$} \\, [\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<li>Voltando \u00e0 hip\u00f3tese de que [tex]CDE[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]3[\/tex] e, consequentemente, [tex]C+D+E=4+5+E=9+E[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]3[\/tex], vemos que a \u00fanica possibilidade \u00e9 termos [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$E=3$} \\, [\/tex].<\/li>\n<li> Agora, s\u00f3 restam os algarismos [tex]1[\/tex] e [tex]2[\/tex] como op\u00e7\u00f5es para [tex]B[\/tex]. Mas lembre-se de que [tex]ABC[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]4[\/tex], logo [tex]BC[\/tex] deve ser divis\u00edvel por [tex]4[\/tex].<br \/>\nNo entanto, [tex]BC=14[\/tex] n\u00e3o \u00e9 divis\u00edvel por [tex]4[\/tex], enquanto que [tex]BC=24[\/tex] o \u00e9. Isso significa que [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$B=2$} \\, [\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Ent\u00e3o, sobra como alternativa para [tex]A[\/tex] ser o algarismo [tex]1[\/tex], portanto a resposta do problema \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A=1$} \\, [\/tex].<\/li>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right:auto; width:418px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\" wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"explicador_p\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"90\" height=\"108\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala bg33 cb33\" style=\"width:300px; line-height: 20px; font-size: small\" > Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra dos crit\u00e9rios de divisibilidade que foram utilizados, clique <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/um-pouco-sobre-divisibilidade-criterios-de-divisibilidade-sem-justificativas\/\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a>.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 6\u00ba ano do E. 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