{"id":85491,"date":"2017-09-23T12:13:27","date_gmt":"2017-09-23T15:13:27","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=85491"},"modified":"2023-05-23T23:14:16","modified_gmt":"2023-05-24T02:14:16","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-o-quadro-que-pedro-ganhou","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-o-quadro-que-pedro-ganhou\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: O quadro que Pedro ganhou"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F.) (N\u00edvel: M\u00e9dio)<\/span><\/span><\/p>\n

\n(OPM 2004 – adaptado<\/strong>) O pescador Pedro gosta muito de pescar em noites de lua cheia e por isso sua amiga Maria pintou o quadro que aparece na imagem abaixo para presente\u00e1-lo.
\nA vela do barco \u00e9 um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero com [tex]20 \\, \\text{cm}[\/tex] de lado e a lua \u00e9 um c\u00edrculo com centro em um v\u00e9rtice do tri\u00e2ngulo.
\nSe a \u00e1rea da parte da lua escondida atr\u00e1s da vela \u00e9 a metade da \u00e1rea da vela, qual \u00e9 o raio da lua que Maria pintou?<\/p>\n

\"p32_2\"<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n\"explicador_p\" \"\"<\/p>\n

Lembretes <\/p>\n

\n

✐ <\/span> \u00c1rea de um setor circular de raio [tex]R[\/tex] e [tex]\\alpha[\/tex] graus:<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{A_{setor}=\\dfrac{\\pi \\cdot \\alpha \\cdot R^{ \\, 2} }{360}}[\/tex]<\/p>\n

\n

\n(Para aprender um pouco mais sobre setor circular<\/strong>, cliquem AQUI<\/a><\/strong>)<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nSeja [tex]R[\/tex] a medida do raio a ser calculada.
\nVamos inicialmente determinar a \u00e1rea da vela, j\u00e1 que a \u00e1rea da parte da lua escondida atr\u00e1s da vela \u00e9 a metade dessa \u00e1rea.
\nComo a vela \u00e9 um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero, podemos utilizar o Teorema de Pit\u00e1goras para encontrar a altura do tri\u00e2ngulo. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Sabemos que em um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero toda altura \u00e9 tamb\u00e9m uma mediana; assim, se [tex]h[\/tex] for a altura da vela, segue que:
\n[tex]\\quad h^2+10^2=20^2 [\/tex]
\n[tex]\\quad h^2=300[\/tex]
\n[tex]\\quad \\boxed{h=10\\sqrt{3}\\, \\text{cm}}[\/tex].
\nDessa forma, temos que a \u00e1rea da vela \u00e9 dada por:
\n[tex]\\quad A_v=\\dfrac{base\\times altura}{2}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\quad A_v=\\dfrac{20\\times 10\\sqrt{3}}{2}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\quad \\boxed{A_v= 100\\sqrt{3}\\,\\text{cm}^2}[\/tex].
\nA partir daqui podemos concluir a solu\u00e7\u00e3o do problema de duas maneiras; vejamos.<\/p>\n

\n

[tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] Se voc\u00ea sabe o que \u00e9 um setor circular, observe que a parte da lua escondida \u00e9 um setor circular e, portanto, podemos utilizar a f\u00f3rmula do Lembrete: [tex]A_{setor}=\\dfrac{\\pi \\cdot \\alpha \\cdot R^{ \\, 2} }{360}[\/tex].
\nComo a \u00e1rea da parte da lua escondida \u00e9 a metade da \u00e1rea da vela, temos que [tex]A_{setor}=\\dfrac{A_v}{2}[\/tex] e, assim,
\n[tex]\\quad \\boxed{\\dfrac{\\pi \\cdot \\alpha \\cdot R^{ \\, 2}}{360}= \\dfrac{100\\sqrt{3}}{2}}[\/tex].
\nPor outro lado, note que o \u00e2ngulo central que define o setor circular \u00e9 um \u00e2ngulo interno de um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero, logo:
\n[tex]\\quad \\alpha=\\dfrac{180^\\circ}{3}=60^\\circ[\/tex]
\ne, portanto, segue que: <\/p>\n

\n

[tex]\\quad \\dfrac{\\pi \\cdot 60 \\cdot R^{ \\, 2} }{360}= \\dfrac{100\\sqrt{3}}{2}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\quad \\dfrac{\\pi \\cdot R^{ \\, 2} }{6}= 50\\sqrt{3}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\quad R^{ \\, 2}= \\dfrac{300\\sqrt{3}}{\\pi}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\quad R= \\sqrt{\\dfrac{300\\sqrt{3}}{\\pi}}[\/tex].
\nPelo exposto, temos que a medida do raio da lua pintada por Maria \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R= 10\\sqrt{\\dfrac{3\\sqrt{3}}{\\pi}} \\approx 12,86 \\; \\text{cm}$} \\, [\/tex].<\/p>\n

\n

\n
\n

\n

[tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] Se voc\u00ea n\u00e3o sabe o que \u00e9 um setor circular, podemos resolver o problema sem a f\u00f3rmula do Lembrete.
\nPara isso basta observar que, como a medida de cada \u00e2ngulo interno de um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero, e particularmente da vela, \u00e9 [tex]\\alpha=\\dfrac{180^\\circ}{3}=60^\\circ[\/tex] e [tex]60^\\circ=\\dfrac{360^\\circ}{6}[\/tex], ent\u00e3o a \u00e1rea da parte da lua que est\u00e1 escondida atr\u00e1s da vela \u00e9 um sexto da \u00e1rea total do c\u00edrculo cuja medida [tex]R[\/tex] do raio queremos determinar.<\/p>\n

\"\" <\/p>\n

Como a \u00e1rea da parte da lua escondida \u00e9 a metade da \u00e1rea da vela, a qual j\u00e1 sabemos ser [tex]A_v= 100\\sqrt{3}\\,\\text{cm}^2[\/tex], temos que [tex]\\dfrac{100\\sqrt{3}}{2}=\\dfrac{\\pi \\cdot R^2}{6}[\/tex], donde segue que:<\/p>\n

\n

[tex]\\quad 300\\sqrt{3}=\\pi \\cdot R^2[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\quad R^2=\\dfrac{300\\sqrt{3}}{\\pi}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\quad R=\\sqrt{\\dfrac{300\\sqrt{3}}{\\pi}}[\/tex].
\nAssim, a medida do raio da lua pintada por Maria \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R= 10\\sqrt{\\dfrac{3\\sqrt{3}}{\\pi}} \\approx 12,86 \\; \\text{cm}$} \\, [\/tex].<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00f5es elaboradas pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

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\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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