\n| [tex]6[\/tex]<\/td>\n | [tex]17[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n Sabendo que a m\u00e9dia de idade de todos os alunos medalhistas \u00e9 [tex]14 [\/tex] anos, elabore e execute um plano de resolu\u00e7\u00e3o de forma a determinar:
\n(a)<\/strong> Quantas comiss\u00f5es distintas podem ser formadas por dois alunos medalhistas.
\n(b)<\/strong> A probabilidade de a m\u00e9dia de idade dos dois alunos da comiss\u00e3o ser inferior a [tex]16[\/tex] anos.<\/p>\n\n<\/div>\n \n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n
\nDeterminaremos inicialmente o valor de [tex]x[\/tex].<\/p>\n \n- Pelos dados do problema, sabemos que a m\u00e9dia de idade de todos os alunos medalhistas da escola \u00e9 [tex]14 [\/tex] anos.<\/li>\n
- Por outro lado, essa m\u00e9dia \u00e9 o quociente [tex]\\dfrac{S}{Q}[\/tex], em que [tex]S[\/tex] \u00e9 a soma das idades de todos os medalhistas e [tex]Q[\/tex] \u00e9 a quantidade de medalhistas. Assim, vamos utilizar os dados da tabela fornecida no problema e calcular [tex]\\dfrac{S}{Q}[\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\n
\n\n| N\u00famero de Medalhistas <\/td>\n | Idade <\/td>\n | Soma das idades<\/td>\n<\/tr>\n | \n| [tex]8[\/tex]<\/td>\n | [tex]11[\/tex]<\/td>\n | [tex]8 \\times 11=88[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n | \n| [tex]6[\/tex]<\/td>\n | [tex]12[\/tex]<\/td>\n | [tex]6 \\times 12=72[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n | \n| [tex]3[\/tex]<\/td>\n | [tex]13[\/tex]<\/td>\n | [tex]3 \\times 13=39[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n | \n| [tex]2[\/tex]<\/td>\n | [tex]14[\/tex]<\/td>\n | [tex]2 \\times 14=28[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n | \n| [tex]9[\/tex]<\/td>\n | [tex]15[\/tex]<\/td>\n | [tex]9 \\times 15=135[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n | \n| [tex]x[\/tex]<\/td>\n | [tex]16[\/tex]<\/td>\n | [tex]x \\times 16=16x[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n | \n| [tex]6[\/tex]<\/td>\n | [tex]17[\/tex]<\/td>\n | [tex]6 \\times 17=102[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n | \n| [tex]\\boxed{Q=34+x}[\/tex]<\/td>\n | <\/td>\n | [tex]\\boxed{S=464+16x}[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n Como [tex]\\dfrac{S}{Q}=14[\/tex], segue que:<\/p>\n \n [tex]\\qquad \\dfrac{464+16x}{34+x}=14[\/tex]<\/p>\n \n [tex]\\qquad 464+16x=476+14x[\/tex]
\n[tex]\\qquad 2x=12[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=6$}[\/tex].<\/p>\n
\n
\n(a)<\/strong> Determinado o valor de [tex]x[\/tex], podemos afirmar que o n\u00famero de alunos medalhistas \u00e9 igual a [tex]34+6=40[\/tex].
\nPara determinar o n\u00famero de comiss\u00f5es distintas formadas por dois dos alunos medalhistas, vamos calcular as combina\u00e7\u00f5es dos [tex]40[\/tex] alunos, tomados [tex]2[\/tex] a [tex]2[\/tex]:
\n[tex]\\qquad C_{40,2}=\\dfrac{40!}{2!(40-2)!}=\\dfrac{40!}{2!38!}=780[\/tex].<\/p>\n\n Portanto, podemos formar [tex]780[\/tex] comiss\u00f5es distintas compostas por dois alunos medalhistas.<\/strong><\/p>\n
\n
\n(b)<\/strong> Seja [tex]M[\/tex] o conjunto de todas as comiss\u00f5es de dois alunos medalhistas com m\u00e9dia de idade inferior a [tex]16[\/tex] anos.<\/p>\n\n- Para sabermos a quantidade de elementos de [tex]M[\/tex], calcularemos a quantidade de elementos do seu complementar [tex]M^c[\/tex], ou seja, trabalharemos com o conjunto das comiss\u00f5es formadas por alunos cuja m\u00e9dia das idades seja maior ou igual a [tex]16[\/tex] anos.<\/li>\n<\/ul>\n
\n Para termos dois alunos com a m\u00e9dia de idade igual ou superior a [tex]16[\/tex] anos, a soma das idades desses dois alunos dever\u00e1 ser igual a [tex]32[\/tex] ou maior do que [tex]32[\/tex]. Para isso, nas condi\u00e7\u00f5es do problema, s\u00f3 existem as seguintes possibilidades:<\/p>\n \n[tex]\\begin{array}{|l|l|}
\n\\hline \\textrm{Idades} & \\textrm{N\u00famero de Comiss\u00f5es} \\\\
\n\\hline \\textrm{Dois alunos de 17 anos}& C_{6,2}=15\\\\
\n\\hline \\textrm{Um aluno de 16 anos e um aluno de 17 anos}& C_{6,1} \\times C_{6,1}=36\\\\
\n\\hline \\textrm{Dois alunos de 16 anos}& C_{6,2}=15\\\\
\n\\hline \\textrm{Um aluno de 15 anos e um aluno de 17 anos}& C_{9,1} \\times C_{6,1}=54\\\\
\n \\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n Assim, o n\u00famero de elementos do conjunto [tex]M^c[\/tex] ser\u00e1
\n[tex]\\qquad 15+36+15+54=120[\/tex],
\ne podemos, ent\u00e3o, concluir que o n\u00famero de elementos do conjunto [tex]M[\/tex] ser\u00e1
\n[tex]\\qquad 780-120=660[\/tex].
\nLogo, a probabilidade da m\u00e9dia de idade dos dois alunos da comiss\u00e3o ser inferior a [tex]16[\/tex] anos \u00e9 igual a [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{660}{780}=\\dfrac{11}{13}$} \\, [\/tex].<\/p>\n
\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n | |
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/td>\n