{"id":82372,"date":"2017-08-22T20:33:38","date_gmt":"2017-08-22T23:33:38","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=82372"},"modified":"2024-11-26T23:23:47","modified_gmt":"2024-11-27T02:23:47","slug":"brincando-com-geometria-setor-e-segmento-circular","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/brincando-com-geometria-setor-e-segmento-circular\/","title":{"rendered":".Sala de Estudo: Setor e segmento circular"},"content":{"rendered":"
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Setor circular e segmento circular<\/p>\n

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Vamos discutir sobre duas regi\u00f5es de um c\u00edrculo que, embora sejam bastante utilizadas na solu\u00e7\u00e3o de problemas envolvendo \u00e1reas, \u00e9 comum certa confus\u00e3o entre elas. Ambas as regi\u00f5es dependem de uma circunfer\u00eancia e de um \u00e2ngulo central (ou um arco de circunfer\u00eancia), elas t\u00eam uma rela\u00e7\u00e3o entre si, mas s\u00e3o objetos matem\u00e1ticos distintos.
\nBom proveito!<\/strong><\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

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Setor Circular <\/p>\n

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\nConsidere um c\u00edrculo [tex]c[\/tex] de centro [tex]O[\/tex] e fixe dois pontos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] da circunfer\u00eancia de [tex]c[\/tex].
\nChamamos setor circular<\/strong><\/span> a regi\u00e3o do c\u00edrculo [tex]c[\/tex] limitada pelo arco da circunfer\u00eancia definido por [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] e pelos raios [tex]OA[\/tex] e [tex]OB[\/tex].
\nSe [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] n\u00e3o forem extremidades de um di\u00e2metro, o setor circular definido pode receber nomes particulares: o setor \u00e9 chamado de setor circular menor<\/strong>, se o arco que o define for o chamado “arco menor”; caso contr\u00e1rio, o setor \u00e9 dito setor circular maior<\/strong>.<\/div>\n

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De modo geral, o arco utilizado na defini\u00e7\u00e3o de um setor circular \u00e9 o dito “arco menor”; assim, quase todas as nossas figuras mostram setores circulares definidos por arcos menores, mas as conclus\u00f5es aqui estabelecidas s\u00e3o v\u00e1lidas para setores circulares definidos por arcos quaisquer. Observe que, em um mesmo c\u00edrculo, a soma das \u00e1reas do setor circular maior e do setor circular menor definidos pelos pontos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] \u00e9 exatamente a \u00e1rea do pr\u00f3prio c\u00edrculo.<\/p>\n\n\n
Perceba que os raios [tex]OA[\/tex] e [tex]OB[\/tex] e o centro [tex]O[\/tex] definem um \u00e2ngulo central e um arco.
\nAssim, podemos associar a cada setor circular tr\u00eas medidas: o comprimento [tex]R[\/tex] do raio do c\u00edrculo, a medida [tex]\\alpha[\/tex] do \u00e2ngulo central<\/strong> e o comprimento [tex]l [\/tex] do arco<\/strong>.
\nSendo uma regi\u00e3o do plano, o setor circular tem uma \u00e1rea que pode ser calculada se conhecemos a medida [tex]R[\/tex] e a medida [tex]\\alpha[\/tex] (em radianos ou em graus).
\nSe conhecermos o comprimento do arco definido pelos pontos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex], al\u00e9m do comprimento [tex]R[\/tex] do raio, tamb\u00e9m \u00e9 poss\u00edvel obtermos a \u00e1rea do setor circular.<\/td>\n		\"\"<\/td>\n\n

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✐<\/strong> <\/span> \u00c1rea de um setor circular de raio [tex]R[\/tex] e [tex]\\alpha[\/tex] radianos<\/strong>
\n[tex]\\qquad \\qquad\\boxed{A_{setor}=\\dfrac{\\alpha R^{ \\, 2}}{2}}[\/tex]<\/p>\n

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✐<\/strong> <\/span> \u00c1rea de um setor circular de raio [tex]R[\/tex] e [tex]\\alpha[\/tex] graus<\/strong>
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{A_{setor}=\\dfrac{\\pi R^{ \\, 2} \\alpha}{360}}[\/tex]<\/p>\n

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✐<\/strong> <\/span> \u00c1rea de um setor circular de raio [tex]R[\/tex] e comprimento de arco [tex]l[\/tex]<\/strong>
\n[tex]\\qquad \\qquad\\boxed{A_{setor}=\\dfrac{l\\cdot R}{2}}[\/tex]<\/p>\n

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Para saber de onde vieram essas tr\u00eas f\u00f3rmulas, clique no bot\u00e3o abaixo.<\/p>\n

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O setor circular \u00e9 uma parte do c\u00edrculo que o define e sua \u00e1rea depende diretamente da medida do \u00e2ngulo central ou do comprimento de arco a ele associado. Podemos, ent\u00e3o, calcular a \u00e1rea de um setor circular aplicando uma regra de tr\u00eas simples j\u00e1 que esta \u00e1rea ser\u00e1 uma porcentagem da \u00e1rea do c\u00edrculo que o define: [tex]\\pi R^2 [\/tex]<\/p>\n

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✐<\/strong> <\/span> \u00c1rea de um setor circular de raio [tex]R[\/tex] e [tex]\\alpha[\/tex] radianos<\/strong>
\nA regra de tr\u00eas simples<\/p>\n\n\n\n
[tex]2\\pi \\, rad[\/tex] <\/td>\n ————————————–<\/td>\n [tex]\\pi R^2[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n
[tex]\\alpha \\, rad [\/tex]<\/td>\n ————————————–<\/td>\n [tex]A_{setor}[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

garante que [tex]\\boxed{A_{setor}=\\dfrac{\\alpha R^{ \\, 2}}{2}}[\/tex]<\/p>\n

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✐<\/strong> <\/span> \u00c1rea de um setor circular de raio [tex]R[\/tex] e [tex]\\alpha[\/tex] graus<\/strong>
\nA regra de tr\u00eas simples<\/p>\n\n\n\n
[tex]360^{\\circ}[\/tex] <\/td>\n ————————————–<\/td>\n [tex]\\pi R^2[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n
[tex]\\alpha^{\\circ} [\/tex]<\/td>\n ————————————–<\/td>\n [tex]A_{setor}[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

garante agora que [tex]\\boxed{A_{setor}=\\dfrac{\\pi R^{ \\, 2} \\alpha}{360}}[\/tex]<\/p>\n

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✐<\/strong> <\/span> \u00c1rea de um setor circular de raio [tex]R[\/tex] e comprimento de arco [tex]l[\/tex]<\/strong>
\nMais uma regra de tr\u00eas simples:<\/p>\n\n\n\n
[tex]2\\pi R[\/tex] <\/td>\n ————————————–<\/td>\n [tex]\\pi R^2[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n
[tex]l [\/tex]<\/td>\n ————————————–<\/td>\n [tex]A_{setor}[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Temos, agora, que [tex]\\boxed{A_{setor}=\\dfrac{l\\cdot R}{2}}[\/tex]<\/p>\n

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Achou a \u00faltima f\u00f3rmula parecida com a da \u00e1rea de um tri\u00e2ngulo?
\nEnt\u00e3o, clique no bot\u00e3o abaixo.<\/p>\n

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Segmento Circular <\/p>\n

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\nConsidere um c\u00edrculo [tex]c[\/tex] de centro [tex]O[\/tex] e fixe dois pontos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] da circunfer\u00eancia de [tex]c[\/tex].
\nChamamos segmento circular<\/strong><\/span> a regi\u00e3o do c\u00edrculo [tex]c[\/tex] limitada pela corda e pelo arco da circunfer\u00eancia definidos por [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex].
\nSe [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] n\u00e3o forem extremidades de um di\u00e2metro, o segmento circular definido tamb\u00e9m pode receber nomes particulares: se o arco que define o segmento circular for o chamado “arco menor”, ent\u00e3o temos o segmento circular menor<\/strong>, caso contr\u00e1rio, temos um segmento circular maior<\/strong>.<\/div>\n

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\"\"<\/p>\n

De modo geral, o arco utilizado na defini\u00e7\u00e3o de um segmento circular \u00e9 tamb\u00e9m o “arco menor”; assim, quase todas as nossas figuras mostram setores circulares definidos por arcos menores. Observe que, em um mesmo c\u00edrculo, a soma das \u00e1reas do segmento circular maior e do segmento circular menor definidos pelos pontos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] \u00e9 igual \u00e0 \u00e1rea do pr\u00f3prio c\u00edrculo.\n <\/p>\n\n\n
Perceba que os pontos [tex]O[\/tex], [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] definem os raios [tex]OA[\/tex] e [tex]OB[\/tex] e um \u00e2ngulo central.
\nAssim, podemos associar a cada segmento circular duas medidas: o comprimento [tex]R[\/tex] do raio do c\u00edrculo e a medida [tex]\\alpha[\/tex] do \u00e2ngulo central<\/strong>.
\nSendo tamb\u00e9m uma regi\u00e3o do plano, o segmento circular tem uma \u00e1rea que pode ser calculada se conhecemos a medida [tex]R[\/tex] e a medida [tex]\\alpha[\/tex] em radianos.<\/td>\n		\"\"\n<\/td>\n<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

✐<\/strong> <\/span> \u00c1rea de um segmento circular de raio [tex]R[\/tex] e [tex]\\alpha[\/tex] radianos<\/strong>
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{A_{segm}=\\dfrac{R^{ \\, 2}}{2}\\left(\\alpha-sen \\, \\alpha\\right)}[\/tex]<\/p>\n

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Para saber de onde veio essa f\u00f3rmula, clique no bot\u00e3o abaixo.<\/p>\n

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\nVejamos como obter a \u00e1rea do segmento circular.<\/strong>
\nObserve que a \u00e1rea do segmento circular \u00e9 dada pela diferen\u00e7a entre a \u00e1rea do setor circular e a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex] OBC[\/tex]. <\/p>\n

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Assim, [tex]\\acute{A}rea=A_1-A_2[\/tex], onde <\/li>\n