\n
Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n
\nSeja [tex]X=(10^{4n^2+8}+1)^2[\/tex].
\nUtilizando o “quadrado da soma”, temos que:<\/p>\n
\n[tex]\\begin{align*}X=(10^{4n^2+8}+1)^2& =(10^{4n^2+8})^2+2\\cdot (10^{4n^2+8})+1^2\\\\
\n&=10^{8n^2+16}+2\\cdot10^{4n^2+8}+1\\\\
\n&=1\\underbrace{000\\,\\,\\,\\,\\cdots\\,\\,\\,\\,000}_{8n^2+16\\,\\text{algarismos}\\,0}+2\\underbrace{000\\,\\,\\,\\,\\cdots\\,\\,\\,\\,000}_{4n^2+8\\,\\text{algarismos}\\,0}+1\\\\
\n&=1\\,\\,\\underbrace{000\\,\\,\\,\\,\\cdots\\,\\,\\,\\,000}_{4n^2+7\\,\\text{algarismos}\\,0}\\,\\,2\\,\\,\\underbrace{000\\,\\,\\,\\,\\cdots\\,\\,\\,\\,000}_{4n^2+8\\,\\text{algarismos}\\,0}+1 \\\\
\n&=1\\,\\,\\underbrace{000\\,\\,\\,\\,\\cdots\\,\\,\\,\\,000}_{4n^2+7\\,\\text{algarismos}\\,0}\\,\\,2\\,\\,\\underbrace{000\\,\\,\\,\\,\\cdots\\,\\,\\,\\,000}_{4n^2+7\\,\\text{algarismos}\\,0}1 \\, .\\end{align*}[\/tex]
\nVeja o esqueminha:
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/08\/fig037.png\")
<\/p>\n
\n
Portanto, a soma dos d\u00edgitos do n\u00famero [tex]X[\/tex] \u00e9 sempre [tex]\\fcolorbox{black}{#FFC0CB}{$1+2+1=4$}[\/tex] e, assim, independe do inteiro positivo [tex]n[\/tex].<\/p>\n
\n
Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n\n
\n
Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n
\nConsiderando [tex]4n^2 + 8 = x[\/tex], temos que:<\/p>\n
\n- [tex](10^x + 1)^2 = (10^x)^2 + 2(10^x\\cdot1) + 1^2 = 10^{x\\cdot2} + 2\\cdot{10^x} + 1[\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\n
Veja que os primeiros algarismos desse n\u00famero (da esquerda para a direita) ser\u00e3o o [tex]1[\/tex] seguido de [tex]x – 1[\/tex] zeros. Ap\u00f3s isso, teremos o algarismo [tex]2[\/tex] seguido de [tex]x – 1[\/tex] zeros e, por fim, o algarismo [tex]1[\/tex] como unidade.<\/p>\n
\n
Assim, podemos ver que a soma dos d\u00edgitos deste n\u00famero \u00e9 igual a [tex]\\boxed{1 + 2 + 1 = 4}[\/tex] e que [tex]n[\/tex] n\u00e3o influencia este resultado.<\/p>\n
\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelo Clube 1uik<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n\n
\nParticipou da discuss\u00e3o o Clube
1uik<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) Seja [tex]n[\/tex] um inteiro positivo. Qual \u00e9 a soma dos d\u00edgitos do n\u00famero [tex](10^{4n^2+8}+1)^2[\/tex]? Essa soma depende de [tex]n[\/tex]? Para ajudar. . . Voc\u00ea se lembra do produto not\u00e1vel “quadrado da soma”? Voc\u00ea vai precisar dessa identidade alg\u00e9brica para resolver o problema. [tex]\\quad \\boxed{(a +b)^2 … <\/p>\n
Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-82266","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/82266","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=82266"}],"version-history":[{"count":74,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/82266\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":186542,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/82266\/revisions\/186542"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=82266"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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