{"id":81940,"date":"2017-08-25T15:08:14","date_gmt":"2017-08-25T18:08:14","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=81940"},"modified":"2023-04-08T02:32:46","modified_gmt":"2023-04-08T05:32:46","slug":"desafio-o-buraco-do-triangulo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-o-buraco-do-triangulo\/","title":{"rendered":".Desafio: O Buraco do Tri\u00e2ngulo"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nA figura abaixo \u00e9 formada por quatro pol\u00edgonos: dois tri\u00e2ngulos e dois hex\u00e1gonos n\u00e3o regulares.<br \/>\nAo tentarmos formar a mesma figura com outra disposi\u00e7\u00e3o dos mesmos pol\u00edgonos, surge um buraco. <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/08\/fig033.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"400\" height=\"400\" class=\"aligncenter size-full wp-image-81973\" \/><\/p>\n<p><strong>Onde est\u00e1 o erro? De onde o buraco surgiu?<\/strong>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1 cb36\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:90%; margin-left:auto; margin-right:auto; \">\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> Um joguinho para ajudar. . . <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:30px 55px 30px 55px;\">\n<strong>Antes de ler a solu\u00e7\u00e3o, utilize o <em>applet <\/em>abaixo para tentar descobrir por que apareceu o buraco&#8230;<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\n<iframe loading=\"lazy\" scrolling=\"no\" title=\"O Buraco do Tri\u00e2ngulo\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/ds3jjwda\/width\/638\/height\/330\/border\/ffffff\/sfsb\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/false\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"640px\" height=\"335px\" style=\"border:2px solid #800000;\"> <\/iframe><br \/>\n<span style=\"font-14px\">OBMEP_nzm, criado com o <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/\" target=\"_blank\" >GeoGebra<\/a><\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'Georgia'; font-size: 14px; text-align: justify; color: #800000;\">Observamos que o <em>applet<\/em> ajuda na visualiza\u00e7\u00e3o do resultado; mas, matematicamente, n\u00e3o substitui sua demonstra\u00e7\u00e3o.<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nA figura \u00e9 uma forma de &#8220;ilus\u00e3o de \u00f3tica&#8221; e nos engana.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/08\/fig034.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"450\" height=\"227\" class=\"alignright size-full wp-image-82006\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/08\/fig034.png 450w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/08\/fig034-300x151.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 450px) 100vw, 450px\" \/><br \/>\nObserve que, em um primeiro momento, pensamos que a primeira disposi\u00e7\u00e3o dos pol\u00edgonos internos define um grande tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo com catetos medindo [tex]5[\/tex] e [tex]13[\/tex] unidades de comprimento. Mas, depois de alertados de que &quot;algo estranho&quot; aconteceu, observamos que isso n\u00e3o \u00e9 verdade: a soma total das \u00e1reas dos quatro pol\u00edgonos \u00e9 [tex]\\boxed{12+8+7+5=32}[\/tex] unidades de \u00e1rea enquanto o suposto tri\u00e2ngulo que as envolve, sem sobrar ou faltar peda\u00e7o, tem [tex]\\boxed{\\dfrac{13 \\times 5}{2}=32,5}[\/tex] unidades de \u00e1rea.<br \/>\nMais ainda, n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel alinharmos as hipotenusas dos tri\u00e2ngulos vermelho e verde. Isso mesmo, em cada figura, os pontos [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex]  n\u00e3o est\u00e3o alinhados!<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/08\/fig035.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"679\" height=\"159\" class=\"aligncenter size-full wp-image-82038\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/08\/fig035.png 679w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/08\/fig035-300x70.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 679px) 100vw, 679px\" \/><\/p>\n<p>Com efeito, os catetos horizontais dos tri\u00e2ngulos verde e vermelho est\u00e3o na raz\u00e3o [tex]\\dfrac{5}{8}[\/tex], enquanto os verticais est\u00e3o na raz\u00e3o [tex]\\dfrac{2}{3}[\/tex]. Como  [tex]\\dfrac{2}{3}\\not=\\dfrac{5}{8}[\/tex], esses dois tri\u00e2ngulos n\u00e3o s\u00e3o semelhantes e, ent\u00e3o,  particularmente os \u00e2ngulos [tex]\\alpha[\/tex] e [tex]\\beta[\/tex] n\u00e3o s\u00e3o congruentes, ou seja, as inclina\u00e7\u00f5es das hipotenusas dos tri\u00e2ngulos verde e vermelho s\u00e3o diferentes.<span style=\"font-size:11px;\"> (Para mais informa\u00e7\u00f5es sobre semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos, consulte <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-ajuda-triangulos-semelhantes\/\" target=\"_blank\"><strong>esta sala<\/strong><\/a>.)<\/span><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/08\/fig036.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\"  height=\"151\" class=\"aligncenter size-full wp-image-82042\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/08\/fig036.png 623w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/08\/fig036-300x73.png 300w\" sizes=\"(max-width: 623px) 100vw, 623px\" \/><\/p>\n<p class=\"gr2 cb33 bg32\" style=\"width:65%\">Para quem j\u00e1 aprendeu trigonometria, \u00e9 f\u00e1cil calcular a medida dos \u00e2ngulos [tex]\\alpha[\/tex] e [tex]\\beta[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad  \\boxed{\\alpha\\approx 21,8^{\\circ}}\\quad[\/tex] e [tex]\\quad \\boxed{\\beta\\approx 20,6^{\\circ}}[\/tex].<br \/>\nEssa diferen\u00e7a de inclina\u00e7\u00e3o pode ser percebida visualmente com o applet: basta colocar um tri\u00e2ngulo sobre o outro, de modo a coincidir os respectivos v\u00e9rtices dos \u00e2ngulos [tex]\\alpha[\/tex] e [tex]\\beta[\/tex].<\/p>\n<p>Essas contas mostram que, de fato, fomos enganados. A dita &quot;hipotenusa&quot; determinada pelos pontos [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex] sequer \u00e9 um segmento de reta&#8230;<\/p>\n<ul>\n<li>Perceba que ao fazermos a primeira montagem com o applet, surge uma faixa branca entre a hipotenusa do tri\u00e2ngulo externo e as hipotenusas n\u00e3o alinhadas dos tri\u00e2ngulos vermelho e verde. \u00c9 parte da \u00e1rea dessa faixa que fica concentrada e  determina o aparecimento do quadrado, quando fazemos a segunda montagem. <\/li>\n<li>Note, tamb\u00e9m, que a diferen\u00e7a entre as \u00e1reas das quatro pe\u00e7as utilizadas e do suposto tri\u00e2ngulo que as envolveria \u00e9<br \/>\n[tex]\\boxed{ 0,5}[\/tex] unidades de \u00e1rea, uma \u00e1rea menor do que a do quadrado que apareceu na segunda montagem.<br \/>\nIsso se deve ao fato de que, nessa montagem, parte das \u00e1reas dos tri\u00e2ngulos coloridos define uma faixa externa ao tri\u00e2ngulo [tex]5 \\times 13[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1 cb36\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:90%; margin-left:auto; margin-right:auto; \">\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:30px;margin:10px\"> Um v\u00eddeo para terminar <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:30px 40px 30px 40px;text-align:center;\">\nAssista ao v\u00eddeo e veja que o matem\u00e1tico Rog\u00e9rio Martins tamb\u00e9m est\u00e1 \u00e0 procura do Buraco do Tri\u00e2ngulo&#8230;<br \/>\nPara assistir, \u00e9 s\u00f3 clicar na setinha.<br \/>\n<br \/>\n<iframe loading=\"lazy\" width=\"720\" height=\"480\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/dz1VGEk9QLg?rel=0\"  allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<p style=\"margin:30px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<div class=\"g3\">\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: <strong>Matem\u00e1ticos do \u00c9rico<\/strong>; <strong>Os artm\u00e9ticos<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) A figura abaixo \u00e9 formada por quatro pol\u00edgonos: dois tri\u00e2ngulos e dois hex\u00e1gonos n\u00e3o regulares. Ao tentarmos formar a mesma figura com outra disposi\u00e7\u00e3o dos mesmos pol\u00edgonos, surge um buraco. Onde est\u00e1 o erro? De onde o buraco surgiu? Um joguinho para ajudar. . . &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-o-buraco-do-triangulo\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-81940","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/81940","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=81940"}],"version-history":[{"count":135,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/81940\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":186540,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/81940\/revisions\/186540"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=81940"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}