{"id":80228,"date":"2017-07-28T17:19:44","date_gmt":"2017-07-28T20:19:44","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=80228"},"modified":"2023-05-21T02:40:39","modified_gmt":"2023-05-21T05:40:39","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-um-problema-de-area","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-problema-de-area\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola:  Um problema de \u00e1rea!"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=191264\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#915F6D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F.) <span style=\"font-weight: normal;\"> (N\u00edvel: Muito Dif\u00edcil)<\/span><\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<strong>(UFMG)<\/strong> Observe a figura.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/12\/p26.png\" style=\"border: none;\" alt=\"p26\" width=\"308\" height=\"187\" class=\"aligncenter size-full wp-image-69474\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/12\/p26.png 308w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/12\/p26-300x182.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 308px) 100vw, 308px\" \/><\/p>\n<p>Nessa figura, [tex]OA=4\\sqrt{3}[\/tex], [tex]OB=2\\sqrt{3} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\overline{AB} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\overline{AC} \\, [\/tex] tangenciam a circunfer\u00eancia de centro [tex]O[\/tex] em [tex]B \\, [\/tex] e [tex] \\, C[\/tex].<br \/>\nQual a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida?<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n bg3\" style=\"line-height:30px;width: 90%;margin-left: auto; margin-right:auto; color: #616161; font-family: Georgia, Times, 'Times New Roman', serif; font-size: 16px; line-height: 25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Para ajudar . . . <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/fig038.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"160\" height=\"160\" class=\"alignright size-full wp-image-78577\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"> &#10000; <\/span>\u00c1rea de um segmento circular de raio [tex]R[\/tex] e [tex]\\alpha[\/tex] radianos<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{A_{segm}=\\dfrac{R^{ \\, 2}}{2}\\left(\\alpha-sen \\, \\alpha\\right)}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"> &#10000; <\/span> Toda tangente a uma circunfer\u00eancia \u00e9 perpendicular ao raio no ponto de tang\u00eancia.<\/p>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"> &#10000; <\/span> Dois tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos que tenham ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa s\u00e3o congruentes<\/p>\n<p style=\"margin:30px \">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px \">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nObserve que a regi\u00e3o colorida da qual calcularemos a \u00e1rea \u00e9 um segmento circular; assim, como j\u00e1 conhecemos o raio do c\u00edrculo que define esse segmento circular, ser\u00e1 necess\u00e1rio apenas determinar a medida do \u00e2ngulo central [tex]\\alpha[\/tex] que o define.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/fig040.png\" style=\"border:none\"   alt=\"\" width=\"289\" height=\"168\" class=\"aligncenter size-full wp-image-78590\" \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/fig041.png\" style=\"border:none\"  alt=\"\" width=\"272\" height=\"176\" class=\"alignright size-full wp-image-78596\" \/><\/p>\n<p>Para isso, observe inicialmente que, como &#8220;toda reta tangente \u00e0 uma circunfer\u00eancia \u00e9 perpendicular ao raio no ponto de tang\u00eancia&#8221;:<\/p>\n<ul>\n<li>o \u00e2ngulo [tex]O\\widehat{B}A[\/tex] \u00e9 um \u00e2ngulo reto;<\/li>\n<li>o \u00e2ngulo [tex]O\\widehat{C}A[\/tex] \u00e9 um \u00e2ngulo reto.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dessa forma, os tri\u00e2ngulos [tex]ABO[\/tex] e [tex]ACO[\/tex] s\u00e3o tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos com  hipotenusas congruentes (a hipotenusa \u00e9  comum aos dois) e dois catetos congruentes (cada um tem um raio como cateto); portanto <strong>[tex]ABO[\/tex] e [tex]ACO[\/tex] s\u00e3o tri\u00e2ngulos congruentes<\/strong>.<\/p>\n<table class=\"g1\" style=\"border: 1px solid #ffffff; height:auto;\">\n<tr class=\"bf\">\n<td class=\"bf\" style=\"width:35% \">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/fig042.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"254\" height=\"162\" class=\"alignleft size-full wp-image-78605\" \/><\/td>\n<td class=\"g1 bf\">\n<p>Assim, para calcular [tex]\\alpha[\/tex], basta calcular a medida [tex]\\theta[\/tex] destaca na figura ao lado, j\u00e1 que [tex]\\alpha=2\\theta[\/tex].<br \/>\nA partir do tri\u00e2ngulo [tex]ABO[\/tex], por exemplo, podemos observar que:<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\qquad \\qquad cos \\, \\theta=\\dfrac{OB}{OA}=\\dfrac{2\\sqrt{3}}{4\\sqrt{3}}=\\dfrac{1}{2}[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Ent\u00e3o, [tex]\\theta=\\dfrac{\\pi}{3} \\, rad[\/tex] e, portanto, [tex]\\boxed{\\alpha=\\dfrac{2\\pi}{3} \\, rad}[\/tex].<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>Finalmente, podemos calcular a \u00e1rea do segmento circular determinado pela corda BC:<br \/>\n[tex]\\qquad  \\begin{align*} A_{segm}&#038;=\\dfrac{R^{ \\, 2}}{2}\\left(\\alpha-sen \\, \\alpha\\right)\\\\<br \/>\n&#038;=\\dfrac{\\left(2\\sqrt{3}\\right)^2}{2}\\left(\\dfrac{2\\pi}{3}-sen \\, \\dfrac{2\\pi}{3}\\right)\\\\<br \/>\n&#038;=6\\left(\\dfrac{4\\pi-3\\sqrt{3}}{6}\\right)\\\\<br \/>\n&#038;=4\\pi-3\\sqrt{3}.<br \/>\n\\end{align*}[\/tex]<br \/>\nPortanto, a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida \u00e9 [tex]\\boxed{4\\pi-3\\sqrt{3}}[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 30px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:6px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:30px 60px 20px 60px; \">\n\u00c9 comum a confus\u00e3o entre dois objetos geom\u00e9tricos distintos: <strong>setor circular<\/strong> e <strong>segmento circular<\/strong>. Ambos dependem de uma circunfer\u00eancia e de um \u00e2ngulo central, eles t\u00eam certa rela\u00e7\u00e3o entre si, mas s\u00e3o objetos distintos.<br \/>\nSe voc\u00ea n\u00e3o se lembra desses dois objetos, clique no bot\u00e3o abaixo e aprenda um pouco mais. <\/p>\n<div style=\"margin:30px;text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 bbg3\" type=\"button\" value=\"Sala de ajuda\" onclick=\"window.open('http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=80212');\" title=\"Clique aqui e v\u00e1 para a Sala\"\/><\/div>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/Um-problema-de-\u00e1rea.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Um problema de \u00e1rea!.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F.) (N\u00edvel: Muito Dif\u00edcil) (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, [tex]OA=4\\sqrt{3}[\/tex], [tex]OB=2\\sqrt{3} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\overline{AB} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\overline{AC} \\, [\/tex] tangenciam a circunfer\u00eancia de centro [tex]O[\/tex] em [tex]B \\, [\/tex] e [tex] \\, &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-problema-de-area\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-80228","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/80228","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=80228"}],"version-history":[{"count":18,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/80228\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":80230,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/80228\/revisions\/80230"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=80228"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}