{"id":79697,"date":"2017-07-23T15:15:27","date_gmt":"2017-07-23T18:15:27","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=79697"},"modified":"2023-05-21T02:33:51","modified_gmt":"2023-05-21T05:33:51","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-numero-perfeito-multiplicativo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-numero-perfeito-multiplicativo\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: N\u00famero perfeito multiplicativo"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 7\u00ba ano do E. F.) (N\u00edvel: Dif\u00edcil)<\/span><\/span><\/p>\n

\n

Um n\u00famero natural n\u00e3o nulo [tex]n[\/tex] \u00e9 dito perfeito multiplicativo<\/em><\/strong><\/span> se o produto dos seus divisores naturais for igual a [tex]n^2[\/tex].
\nDeterminar os dez primeiros n\u00fameros naturais perfeitos multiplicativos.<\/strong><\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Para aprender um pouco mais. . . <\/p>\n

\n

Duas propriedades sobre n\u00fameros perfeitos multiplicativos:<\/strong>
\n [tex]{\\color{#800000}(1)}[\/tex]<\/strong> Se [tex]n[\/tex] for da forma [tex]n=p\\cdot q[\/tex], com [tex]p \\, [\/tex] e [tex] \\, q[\/tex] primos distintos e positivos, ent\u00e3o [tex]n[\/tex] ser\u00e1 um n\u00famero perfeito multiplicativo.<\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\nCom efeito, neste caso os divisores naturais de [tex]n[\/tex] s\u00e3o [tex]\\boxed{1, \\, 2, \\, p, \\, q, \\, p \\cdot q} \\, [\/tex] e o produto desses divisores \u00e9
\n[tex]\\qquad \\boxed{1\\cdot p\\cdot q\\cdot (p \\cdot q) = p^2\\cdot q^2 = \\left (pq\\right)^2=n^2}[\/tex].<\/p>\n
\nObservamos que ser da forma [tex]n=p\\cdot q[\/tex], com [tex]p \\, [\/tex] e [tex] \\, q[\/tex] primos distintos e positivos, \u00e9 o que chamamos na matem\u00e1tica de condi\u00e7\u00e3o suficiente, mas n\u00e3o necess\u00e1ria, para que [tex]n[\/tex] seja um n\u00famero perfeito multiplicativo. Isso que dizer que se [tex]n[\/tex] for dessa forma, ent\u00e3o [tex]n[\/tex] ser\u00e1 perfeito multiplicativo, mas nem todo perfeito multiplicativo tem essa forma ([tex]8[\/tex], por exemplo, \u00e9 perfeito multiplicativo, mas n\u00e3o tem a forma mencionada).\n<\/div>\n<\/div>\n

[tex]{\\color{#800000}(2)}[\/tex]<\/strong> Nenhum primo \u00e9 perfeito multiplicativo.<\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\nSe [tex]p[\/tex] \u00e9 um natural primo, seus \u00fanicos divisores naturais s\u00e3o [tex]1, \\, p[\/tex].
\nNote que [tex]1\\times p=p\\ne p^2[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\n

Respondendo \u00e0 pergunta, os dez primeiros n\u00fameros naturais perfeitos multiplicativos s\u00e3o:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\fcolorbox{#800000}{#eee0e5}{$ 1, 6, 8, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 27$}[\/tex].
\n\u00c9 claro que poder\u00edamos obter essa resposta encontrando, sequencialmente, para cada n\u00famero todos os seus divisores, fazendo o produto dos divisores encontrados, at\u00e9 obtermos esses dez n\u00fameros, e utilizar argumentos como:<\/p>\n