Problema De frente para o rel\u00f3gio se coloca um espelho. Determinar a quantidade de vezes em um dia nas quais a imagem do rel\u00f3gio mostra algum hor\u00e1rio poss\u00edvel.<\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n (i)<\/strong><\/span> Quando os algarismos [tex]0, 1, 2, 5, 8[\/tex] s\u00e3o refletidos, eles geram os algarismos [tex]0, 1, 5, 2, 8[\/tex], respectivamente. (ii)<\/strong><\/span> Os d\u00edgitos das dezenas nas horas e nos minutos, na imagem refletida, correspondem aos d\u00edgitos das unidades nos minutos e nas horas, respectivamente. <\/p>\n (iii)<\/strong><\/span> Como em nenhum momento temos o [tex]8[\/tex] nas dezenas das horas e dos minutos, descartamos o [tex]8[\/tex] e ficamos apenas com os d\u00edgitos [tex]0, 1, 2, 5[\/tex].<\/p>\n \n Perceba agora que, com os d\u00edgitos [tex]0, 1, 2, 5[\/tex], podemos formar [tex]11[\/tex] horas distintas: <\/p>\n e todas elas refletidas geram respectivamente minutos poss\u00edveis: <\/p>\n Tamb\u00e9m podemos perceber que os valores dos minutos que ap\u00f3s refletidos geram poss\u00edveis horas s\u00e3o exatamente os j\u00e1 descritos. Ent\u00e3o, para cada um dos [tex]11[\/tex] valores das horas que geram poss\u00edveis minutos, h\u00e1 [tex]11[\/tex] poss\u00edveis minutos que geram poss\u00edveis horas. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n \n Logo, todos os hor\u00e1rios que continuam poss\u00edveis ao serem espelhados s\u00e3o formados pelos algarismos [tex]0[\/tex], [tex]1[\/tex], [tex]2[\/tex] e [tex]5[\/tex]. Na primeira casa das horas temos tr\u00eas op\u00e7\u00f5es: [tex]0[\/tex], [tex]1[\/tex] ou [tex]2[\/tex]. Mas repare que os algarismos [tex]0[\/tex] e [tex]1[\/tex] podem ir com o algarismo [tex]5[\/tex], mas o [tex]2[\/tex] n\u00e3o. Assim, vamos dividir em dois casos.<\/p>\n Para os minutos temos as seguintes possibilidades:<\/p>\n Agora basta inverter e contar as possibilidades no espelho. Para isso devemos primeiramente entender que se no rel\u00f3gio o hor\u00e1rio \u00e9 [tex]wx:yz[\/tex], no espelho ser\u00e1 [tex]zy:xw[\/tex]. Os minutos no rel\u00f3gio s\u00e3o as horas no espelho, sendo que se os minutos s\u00e3o [tex]yz[\/tex] no rel\u00f3gio, as horas se tornam [tex]zy[\/tex] no espelho. Veja que assim como fizemos anteriormente, ser\u00e1 necess\u00e1rio dividir em dois casos pois n\u00e3o existe [tex]25:00[\/tex]:<\/p>\n Assim para o primeiro caso das horas h\u00e1 [tex]2 \\times 4 = 8[\/tex] possibilidades.<\/strong><\/p>\n Assim, para o segundo caso das horas h\u00e1 [tex]1 \\times 3 = 3[\/tex] possibilidades.<\/strong><\/ul>\n Devemos escolher o caso [tex]EH.1[\/tex] ou o caso [tex]EH.2[\/tex]. Logo, h\u00e1 [tex]8 + 3 = 11[\/tex] possibilidades das horas aparecerem no espelho.<\/strong><\/span><\/ul>\n Os minutos no espelho foram as horas no rel\u00f3gio, sendo que se as horas no rel\u00f3gio eram [tex]wx[\/tex] os minutos no espelho se tornam [tex]xw[\/tex]. Como as horas estavam divididas em casos, vamos inverter e analis\u00e1-los individualmente:<\/p>\n Assim para o primeiro caso h\u00e1 [tex]4 \\times 2 = 8[\/tex] possibilidades.<\/strong><\/p>\n Como podemos ver para o segundo caso h\u00e1 [tex]3[\/tex] possibilidades.<\/strong><\/ul>\n Pode haver no espelho o caso [tex]EM.1[\/tex] ou o caso [tex]EM.2[\/tex]. Assim h\u00e1 [tex]8 + 3 = 11[\/tex] possibilidades para os minutos.<\/strong><\/span><\/ul>\n Se h\u00e1 [tex]11[\/tex] possibilidades para as horas e [tex]11[\/tex] possibilidades para os minutos ent\u00e3o temos que h\u00e1 [tex]11 \u00d7 11 = 11^2 = 121[\/tex] hor\u00e1rios poss\u00edveis no espelho.<\/strong> Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo Clube 1uik<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Um rel\u00f3gio digital mostra, utilizando quatro d\u00edgitos, todas as horas poss\u00edveis de 00:00 a 23:59. Os d\u00edgitos do rel\u00f3gio s\u00e3o como os da figura abaixo. De frente para o rel\u00f3gio se coloca um espelho. Determinar a quantidade de vezes em um dia nas quais a … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nUm rel\u00f3gio digital mostra, utilizando quatro d\u00edgitos, todas as horas poss\u00edveis de 00:00 a 23:59. Os d\u00edgitos do rel\u00f3gio s\u00e3o como os da figura abaixo.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/11\/Rel\u00f3gio-Digital.png\")
<\/p>\n
\nObserve, inicialmente, que:<\/p>\n
\nOs demais d\u00edgitos n\u00e3o geram nenhum outro d\u00edgito dentre os poss\u00edveis.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/digital1.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/digital2.png\")
<\/p>\n\n
\n
\nPortanto, teremos em um dia um total de [tex]11\\times 11=121[\/tex] vezes nas quais a imagem refletida corresponder\u00e1 a uma poss\u00edvel hora.<\/p>\n
\n
\nPrimeiramente, notamos que os \u00fanicos algarismos que ao terem sua imagem refletida permanecem algarismos s\u00e3o [tex]0[\/tex],[tex]1[\/tex], [tex]2[\/tex], [tex]5[\/tex] e [tex]8[\/tex], sendo que ao serem refletidos [tex]2[\/tex] torna-se [tex]5[\/tex] e vice-versa.
\nVeja que o [tex]8[\/tex] mesmo no rel\u00f3gio normal s\u00f3 poderia ocupar a segunda casa das horas formando as [tex]08[\/tex] ou [tex]18[\/tex] horas ou a segunda casa dos minutos formando [tex]08[\/tex], [tex]18[\/tex], [tex]28[\/tex], [tex]38[\/tex], [tex]48[\/tex] e [tex]58[\/tex] minutos. Por\u00e9m, notamos que hor\u00e1rios formados com o n\u00famero [tex]8[\/tex] ao serem espelhados mostram hor\u00e1rios imposs\u00edveis. Visualize a afirma\u00e7\u00e3o clicando no bot\u00e3o abaixo.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/fig027.jpg\")
<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
\nA seguir, analisamos os hor\u00e1rios poss\u00edveis no rel\u00f3gio utilizando os algarismos [tex]0[\/tex], [tex]1[\/tex], [tex]2[\/tex] e [tex]5[\/tex] para assim inverter e ver quais hor\u00e1rios continuariam poss\u00edveis no espelho.
\nNo rel\u00f3gio temos as seguintes possibilidades:<\/p>\n\n
\n
\nPrimeira casa: [tex]0[\/tex] ou [tex]1[\/tex]
\nSegunda casa: [tex]0[\/tex], [tex]1[\/tex], [tex]2[\/tex] ou [tex]5[\/tex]<\/li>\n
\nPrimeira casa: [tex]2[\/tex]
\nSegunda casa: [tex]0[\/tex], [tex]1[\/tex] ou [tex]2[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n\n
\n
\nVamos l\u00e1.<\/p>\n\n
\n
Primeira casa: [tex]0[\/tex] ou [tex]1[\/tex]
\nSegunda casa: [tex]0[\/tex], [tex]1[\/tex], [tex]2[\/tex] (antigo [tex]5[\/tex]) ou [tex]5[\/tex] (antigo [tex]2[\/tex])<\/ul>\nPrimeira casa: [tex]2[\/tex] (antigo [tex]5[\/tex])
\nSegunda casa: [tex]0[\/tex], [tex]1[\/tex], ou [tex]2[\/tex] (antigo [tex]5[\/tex])<\/ul>\n\n
\n
Primeira casa: [tex]0[\/tex], [tex]1[\/tex], [tex]2[\/tex] (antigo [tex]5[\/tex]) ou [tex]5[\/tex] (antigo [tex]2[\/tex])
\nSegunda casa: [tex]0[\/tex] ou [tex]1[\/tex]<\/ul>\nPrimeira casa: [tex]0[\/tex], [tex]1[\/tex] ou [tex]5[\/tex] (antigo [tex]2[\/tex])
\nSegunda casa: [tex]5[\/tex] (antigo [tex]2[\/tex])<\/ul>\n
\nEm suma, a quantidade de vezes em um dia nas quais a imagem do rel\u00f3gio mostra algum hor\u00e1rio poss\u00edvel \u00e9 [tex]121[\/tex].<\/p>\n
\n