{"id":79270,"date":"2017-07-17T18:58:38","date_gmt":"2017-07-17T21:58:38","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=79270"},"modified":"2023-04-07T05:44:06","modified_gmt":"2023-04-07T08:44:06","slug":"probleminha-menor-natural","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-menor-natural\/","title":{"rendered":".Probleminha: Menor Natural"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nDetermine o menor n\u00famero natural que dividido por [tex]2[\/tex] deixa resto [tex]1[\/tex], dividido por [tex]3[\/tex] deixa resto [tex]2[\/tex], dividido por [tex]4[\/tex] deixa resto [tex]3[\/tex], dividido por [tex]5[\/tex] deixa resto [tex]4[\/tex], dividido por [tex]6[\/tex] deixa resto [tex]5[\/tex] e dividido por [tex]7[\/tex] deixa resto [tex]0[\/tex].<\/p>\n

\n<\/div>\n

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\n

Para ajudar. . . <\/p>\n

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\n\"explicador_p\" <\/p>\n

Sejam [tex]n[\/tex] e [tex]d[\/tex] n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos.
\nSe o resto da divis\u00e3o de [tex]n[\/tex] por [tex]d[\/tex] for [tex]d-1[\/tex], ent\u00e3o [tex]n+1[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]d[\/tex].<\/p>\n

\n\n\n\n
[tex]n[\/tex] <\/td>\n [tex] \\, \\, d \\, \\, [\/tex] <\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n[tex]n+1 \\, \\, [\/tex] <\/td>\n [tex]d[\/tex] <\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
[tex]d-1 \\, \\, [\/tex] <\/td>\n [tex]q[\/tex] <\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n[tex]0[\/tex] <\/td>\n [tex]q+1[\/tex] <\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

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\n <\/p>\n
\nA justificativa da afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 muito simples; basta observar que, se o resto da divis\u00e3o de [tex]n[\/tex] por [tex]d[\/tex] for [tex]d-1[\/tex], ent\u00e3o existe um n\u00famero natural [tex]q[\/tex] tal que [tex] \\, \\boxed{n=q \\times d+(d-1)}[\/tex] (Veja o diagrama acima).
\nMas,
\n[tex]\\qquad n=q \\times d+(d-1) \\Leftrightarrow n+1=q \\times d+d \\Leftrightarrow n+1=(q+1) \\times d,[\/tex]
\n logo
\n[tex]\\qquad n+1=t \\times d[\/tex], com [tex]t=q+1\\in \\mathbb{N},[\/tex]
\no que garante que [tex]n+1[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]d[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\nSeja [tex]x[\/tex] o n\u00famero que estamos procurando.
\nObserve que [tex]x[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]7[\/tex] e que o resto de cada uma das divis\u00f5es de [tex]x[\/tex] por [tex]2, 3, 4, 5, 6[\/tex] \u00e9 sempre uma unidade a menos do que o divisor. Isso significa que o sucessor de [tex]x[\/tex], ou seja, [tex]x+1[\/tex], \u00e9 divis\u00edvel por [tex]2, 3, 4, 5, 6[\/tex].
\n Assim, o menor valor poss\u00edvel para [tex]x+1[\/tex] \u00e9 [tex]4\\times5\\times 6=120[\/tex] (pense um pouquinho no porqu\u00ea…)<\/span>.
\nDessa forma, [tex]x=120-1=119[\/tex] \u00e9 o n\u00famero que estamos procurando, que por sua vez \u00e9 divis\u00edvel por [tex]7[\/tex], como quer\u00edamos.<\/p>\n
\n

olu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\nConsiderando o n\u00famero natural que buscamos como [tex]x[\/tex], temos que:
\n[tex]\\qquad \\begin{align*}x=2a+1\\\\
\nx=3b+2\\\\
\nx=4c+3\\\\
\nx=5d+4\\\\
\nx=6e+5\\\\
\nx=7f+0 \\end{align*}\\qquad[\/tex] com [tex]a, b, c, d, e, f[\/tex] n\u00fameros naturais.
\nDessa forma, observamos que [tex]x+1[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]2[\/tex], [tex]3[\/tex], [tex]4[\/tex], [tex]5[\/tex] e [tex]6[\/tex]<\/strong>.
\nMas, como devemos encontrar o menor natural, calculamos o [tex]mmc[\/tex] de [tex]2[\/tex], [tex]3[\/tex], [tex]4[\/tex], [tex]5[\/tex] e [tex]6[\/tex] e obtemos [tex]60[\/tex] como resultado. Mas perceba que se [tex]x + 1 = 60[\/tex], ent\u00e3o [tex]x[\/tex] teria que ser [tex]59[\/tex], mas isso seria um absurdo pois [tex]x[\/tex] deve ser um m\u00faltiplo de [tex]7[\/tex].
\nComo [tex]x + 1[\/tex] deve ser m\u00faltiplo de [tex]2[\/tex], [tex]3[\/tex], [tex]4[\/tex], [tex]5[\/tex] e [tex]6[\/tex], vamos apenas multiplicar [tex]60[\/tex] por [tex]2[\/tex] (menor primo); assim obtemos [tex]120[\/tex] como [tex]x + 1[\/tex]. Veja que [tex]120 – 1 = 119[\/tex], que \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]7[\/tex].
\nLogo, [tex]x[\/tex] \u00e9 igual a [tex]119[\/tex].<\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo Clube 1uik<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o 3<\/p>\n

\nSeja [tex]N[\/tex] o n\u00famero procurado e note que [tex]N+1[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]2, 3, 4, 5[\/tex] e [tex]6[\/tex] ao mesmo tempo.
\nComo [tex]MMC(2, 3, 4, 5, 6)=60[\/tex], ent\u00e3o [tex]N+1=60\\cdot k[\/tex], com [tex]k[\/tex] inteiro e maior que [tex]0[\/tex].
\nMas tamb\u00e9m devemos ter [tex]N=60\\cdot k\u20131[\/tex] divis\u00edvel por [tex]7[\/tex].
\nTestando valores para [tex]k[\/tex]:<\/p>\n